Номер 8, страница 13 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 11 дают в остатке 6.

Все натуральные числа, которые при делении на 11 дают в остатке 6, можно представить в виде формулы $a_k = 11k + 6$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Нам необходимо найти сумму тех из этих чисел, которые являются двузначными, то есть находятся в промежутке от 10 до 99. Для этого определим диапазон значений $k$.

Составим и решим двойное неравенство:

$10 \le 11k + 6 \le 99$

Вычтем 6 из всех частей неравенства:

$10 - 6 \le 11k \le 99 - 6$

$4 \le 11k \le 93$

Разделим все части неравенства на 11:

$\frac{4}{11} \le k \le \frac{93}{11}$

Приблизительно это выглядит так:

$0,36... \le k \le 8,45...$

Так как $k$ должно быть целым числом, его возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Таким образом, мы имеем последовательность чисел, которые образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее первый член, последний член и количество членов.

Первый член прогрессии (при $k=1$): $a_1 = 11 \cdot 1 + 6 = 17$.

Последний член прогрессии (при $k=8$): $a_n = 11 \cdot 8 + 6 = 88 + 6 = 94$.

Количество членов в прогрессии $n$ равно количеству целых значений $k$ от 1 до 8, то есть $n=8$.

Сумму арифметической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим найденные значения в формулу:

$S_8 = \frac{17 + 94}{2} \cdot 8 = \frac{111}{2} \cdot 8 = 111 \cdot 4 = 444$.

Ответ: 444