Номер 9, страница 13 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Внутри угла $B$, равного $60^\circ$, взята точка $K$. Расстояния от точки $K$ до сторон угла равны $2\text{ см}$ и $3\text{ см}$. Найдите расстояние от точки $K$ до вершины угла $B$.

Пусть стороны угла с вершиной $B$ будут лучи $BA$ и $BC$, так что $\angle ABC = 60^\circ$.

Пусть $K$ — точка внутри этого угла.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Опустим перпендикуляры из точки $K$ на стороны угла.

Пусть $M$ — основание перпендикуляра на стороне $BA$, а $N$ — основание перпендикуляра на стороне $BC$.

Тогда $KM \perp BA$ и $KN \perp BC$.

По условию, расстояния от точки $K$ до сторон угла равны 2 см и 3 см.

Пусть $KM = 2$ см и $KN = 3$ см.

Нам нужно найти расстояние от точки $K$ до вершины угла $B$, то есть длину отрезка $BK$.

Рассмотрим четырехугольник $BMKN$. В нем два угла прямые: $\angle BMK = 90^\circ$ и $\angle BNK = 90^\circ$.

Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

Тогда угол $\angle MKN$ можно найти как: $\angle MKN = 360^\circ - \angle MBN - \angle BMK - \angle BNK$.

Подставляем известные значения: $\angle MKN = 360^\circ - 60^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MKN$. Мы знаем две его стороны ($KM=2$ см, $KN=3$ см) и угол между ними ($\angle MKN = 120^\circ$).

Мы можем найти длину третьей стороны $MN$ по теореме косинусов: $MN^2 = KM^2 + KN^2 - 2 \cdot KM \cdot KN \cdot \cos(\angle MKN)$. $MN^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$.

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем: $MN^2 = 4 + 9 - 12 \cdot (-1/2) = 13 + 6 = 19$.

Следовательно, $MN = \sqrt{19}$ см.

Поскольку углы $\angle BMK$ и $\angle BNK$ прямые, они оба опираются на отрезок $BK$. Это означает, что точки $B$, $M$, $K$, $N$ лежат на одной окружности, для которой отрезок $BK$ является диаметром.

Рассмотрим треугольник $\triangle BMN$. Он вписан в ту же окружность. По обобщенной теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

В нашем случае, диаметром является искомый отрезок $BK$. $BK = \frac{MN}{\sin(\angle MBN)}$.

Подставим известные значения: $BK = \frac{\sqrt{19}}{\sin(60^\circ)}$.

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $BK = \frac{\sqrt{19}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $BK = \frac{2\sqrt{19} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{57}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{57}}{3}$ см.