Номер 10, страница 9 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 3 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть вписанная в него окружность касается гипотенузы $AB$ в точке $D$, катета $AC$ в точке $E$ и катета $BC$ в точке $F$.

По условию, точка касания $D$ делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 3 см. Обозначим длины этих отрезков как $y = AD = 4$ см и $x = DB = 3$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = AB = x + y = 3 + 4 = 7$ см.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Поэтому:

$AE = AD = y = 4$ см.

$BF = BD = x = 3$ см.

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Рассмотрим четырехугольник $CEOF$. В нем $ \angle C = 90^\circ $ (по условию), а радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, поэтому $ \angle CEO = \angle CFO = 90^\circ $. Следовательно, $CEOF$ — прямоугольник. Так как его смежные стороны $OE$ и $OF$ равны радиусу $r$, то $CEOF$ является квадратом, и $CE = CF = r$.

Теперь можем выразить длины катетов треугольника:

Катет $a = BC = BF + FC = x + r = 3 + r$.

Катет $b = AC = AE + EC = y + r = 4 + r$.

Для нахождения площади докажем, что она равна произведению отрезков $x$ и $y$. Воспользуемся теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(x + r)^2 + (y + r)^2 = (x + y)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 + 2xr + r^2 + y^2 + 2yr + r^2 = x^2 + 2xy + y^2$

После сокращения $x^2$ и $y^2$ в обеих частях, получим:

$2r^2 + 2xr + 2yr = 2xy$

Разделив обе части уравнения на 2, имеем:

$r^2 + r(x+y) = xy$

Теперь рассмотрим формулу площади треугольника через полупериметр $p$ и радиус вписанной окружности $r$: $S = p \cdot r$.

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{(x+r) + (y+r) + (x+y)}{2} = \frac{2x+2y+2r}{2} = x+y+r$

Подставим полупериметр в формулу площади:

$S = (x+y+r)r = xr + yr + r^2 = r(x+y) + r^2$

Сравнивая выражение для площади $S = r(x+y) + r^2$ с равенством, полученным из теоремы Пифагора $xy = r(x+y) + r^2$, мы видим, что $S = xy$.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.

Вычислим площадь:

$S = 3 \cdot 4 = 12$ см$^2$.

Ответ: 12 см$^2$.