Номер 8, страница 9 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$, где $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ — решения системы уравнений

$\begin{cases} x^2 - y = 16, \\ x + y = 4. \end{cases}$

Для нахождения значения выражения $x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$ необходимо сначала решить систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y = 16 \\ x + y = 4 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения системы выразим переменную $y$:
$x + y = 4 \implies y = 4 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 - (4 - x) = 16$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 4 + x = 16$
$x^2 + x - 20 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$, дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = 4 - x$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 - 4 = 0$.
Если $x_2 = -5$, то $y_2 = 4 - (-5) = 4 + 5 = 9$.
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(4; 0)$ и $(-5; 9)$.

Пусть $(x_1; y_1) = (4; 0)$ и $(x_2; y_2) = (-5; 9)$.

Наконец, вычислим значение искомого выражения $x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$:
$x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 4 \cdot (-5) + 0 \cdot 9 = -20 + 0 = -20$

Ответ: -20