Номер 8, страница 7 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите значение выражения $x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$, где $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ — решения системы уравнений $\begin{cases} x^2 - y = 21, \\ x + y = 9. \end{cases}$

Для решения задачи необходимо найти решения $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ системы уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y = 21 \\ x + y = 9 \end{cases} $$

Для этого воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения системы выразим переменную y через x:
$y = 9 - x$
Теперь подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
$x^2 - (9 - x) = 21$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 9 + x = 21$
$x^2 + x - 9 - 21 = 0$
$x^2 + x - 30 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета, согласно которой произведение корней равно $-30$, а их сумма равна $-1$. Корнями являются числа $5$ и $-6$.
Либо найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Теперь для каждого найденного значения x найдем соответствующее значение y, используя формулу $y = 9 - x$.
Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 9 - 5 = 4$.
Если $x_2 = -6$, то $y_2 = 9 - (-6) = 9 + 6 = 15$.
Таким образом, решениями системы являются две пары чисел: $(5; 4)$ и $(-6; 15)$.
Пусть $(x_1; y_1) = (5; 4)$ и $(x_2; y_2) = (-6; 15)$.
Теперь найдем значение выражения $x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$:
$x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 5 \cdot (-6) + 4 \cdot 15 = -30 + 60 = 30$.
Ответ: 30