номер 2, страница 105 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

2. Докажите, что при значениях углов бросания $a$ и $(90^\circ - a)$ дальности полёта тела будут одинаковы.

Доказательство:

Запишем формулу для дальности полёта тела, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту (при условии, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, а точки старта и приземления находятся на одной высоте):

$$L = v_{0x} \cdot t = (v_0 \cos\alpha) \cdot \frac{2v_0 \sin\alpha}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha \cos\alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$$

где $g$ — ускорение свободного падения, а $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$ (тригонометрическая формула двойного угла).

Рассмотрим дальность полёта для двух случаев:

• Для угла бросания $\alpha_1 = \alpha$:

  $$L_1 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$$

• Для угла бросания $\alpha_2 = 90^\circ - \alpha$:

  $$L_2 = \frac{v_0^2 \sin(2(90^\circ - \alpha))}{g} = \frac{v_0^2 \sin(180^\circ - 2\alpha)}{g}$$

Используем формулу приведения из тригонометрии: $\sin(180^\circ - x) = \sin x$.
Подставив вместо $x$ значение $2\alpha$, получаем:

$$\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$$

Следовательно, выражение для $L_2$ принимает вид:

$$L_2 = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $L_1 = L_2$, то есть дальности полёта при начальных углах бросания $\alpha$ и $(90^\circ - \alpha)$ действительно равны при одинаковой начальной скорости $v_0$. Что и требовалось доказать.