Экспериментальное задание, страница 15 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

Вырежьте из плотной бумаги пять стрелок различной длины: $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см, $d = 7$ см, $e = 9$ см. Стрелки моделируют векторы. Обозначьте векторы, соответственно, как $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$.

Покажите на моделях, как складывать и вычитать векторы.

Какими будут углы между векторами для каждого из равенств: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{d}$, $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$, $\vec{b} - \vec{e} = \vec{c}$, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{d}$?

Каковы максимальное и минимальное значения модуля суммы и модуля разности для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$? Для $\vec{c}$ и $\vec{d}$?

Дано: длины бумажных стрелок (модули векторов) равны $a = |\vec{a}| = 3\text{ см}$, $b = |\vec{b}| = 4\text{ см}$, $c = |\vec{c}| = 5\text{ см}$, $d = |\vec{d}| = 7\text{ см}$, $e = |\vec{e}| = 9\text{ см}$.

Решение:

1.Правила сложения и вычитания векторов на моделях:

• Сложение (правило треугольника): прикладываем начало второй стрелки к концу первой. Вектором суммы является стрелка, направленная из начала первой стрелки в конец второй. Также можно использовать правило параллелограмма: совместить начала стрелок, достроить фигуру до параллелограмма и провести результирующую стрелку по диагонали из общей точки.
• Вычитание: чтобы найти разность $\vec{a} - \vec{b}$, можно совместить их начала — тогда вектор разности пойдет из конца вычитаемого вектора $\vec{b}$ в конец уменьшаемого вектора $\vec{a}$. Либо сложить вектор $\vec{a}$ с вектором $-\vec{b}$ (противоположно направленной стрелкой той же длины $b$).

2.Определение углов между векторами для каждого равенства:

• Для равенства $\vec{a} + \vec{b} = \vec{d}$:
  Модули векторов: $a + b = 3\text{ см} + 4\text{ см} = 7\text{ см} = d$. Длина суммы равна сумме длин только тогда, когда векторы сонаправлены. Следовательно, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $0^\circ$.
• Для равенства $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$:
  Заметим, что $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, а $c^2 = 5^2 = 25$. Так как $a^2 + b^2 = c^2$, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и их сумма $\vec{c}$ образуют прямоугольный египетский треугольник (по теореме Пифагора). Значит, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $90^\circ$.
• Для равенства $\vec{b} - \vec{e} = \vec{c}$:
  Модуль разности векторов равен $c = 5\text{ см}$. Длины векторов: $e = 9\text{ см}$, $b = 4\text{ см}$. Разность их длин: $e - b = 9\text{ см} - 4\text{ см} = 5\text{ см} = c$. Длина разности равна разности длин составляющих векторов только тогда, когда они сонаправлены. Следовательно, угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{e}$ равен $0^\circ$.
• Для равенства $\vec{a} - \vec{b} = \vec{d}$:
  По формуле разности $|\vec{a} - \vec{b}| \le a + b$. Здесь $a + b = 3\text{ см} + 4\text{ см} = 7\text{ см} = d$. Модуль разности достигает максимального значения (суммы их длин) в том случае, когда векторы направлены в противоположные стороны. Следовательно, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $180^\circ$.

3.Максимальные и минимальные значения модуля суммы и модуля разности:

Для любых двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ выполняются соотношения:
$$|\vec{x} \pm \vec{y}|_{\max} = |\vec{x}| + |\vec{y}|$$ $$|\vec{x} \pm \vec{y}|_{\min} = ||\vec{x}| - |\vec{y}||$$

Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($a = 3\text{ см}$, $b = 4\text{ см}$):

• Максимум модуля суммы: $|\vec{a} + \vec{b}|_{\max} = 3 + 4 = 7\text{ см}$;
• Минимум модуля суммы: $|\vec{a} + \vec{b}|_{\min} = |3 - 4| = 1\text{ см}$;
• Максимум модуля разности: $|\vec{a} - \vec{b}|_{\max} = 3 + 4 = 7\text{ см}$;
• Минимум модуля разности: $|\vec{a} - \vec{b}|_{\min} = |3 - 4| = 1\text{ см}$.

Для векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$ ($c = 5\text{ см}$, $d = 7\text{ см}$):

• Максимум модуля суммы: $|\vec{c} + \vec{d}|_{\max} = 5 + 7 = 12\text{ см}$;
• Минимум модуля суммы: $|\vec{c} + \vec{d}|_{\min} = |5 - 7| = 2\text{ см}$;
• Максимум модуля разности: $|\vec{c} - \vec{d}|_{\max} = 5 + 7 = 12\text{ см}$;
• Минимум модуля разности: $|\vec{c} - \vec{d}|_{\min} = |5 - 7| = 2\text{ см}$.

Ответ:
Углы между векторами:
Для $\vec{a} + \vec{b} = \vec{d}$: $0^\circ$;
Для $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$: $90^\circ$;
Для $\vec{b} - \vec{e} = \vec{c}$: $0^\circ$;
Для $\vec{a} - \vec{b} = \vec{d}$: $180^\circ$.
Для пары $\vec{a}$ и $\vec{b}$: максимальное значение модуля суммы и модуля разности равно $7\text{ см}$, минимальное — $1\text{ см}$.
Для пары $\vec{c}$ и $\vec{d}$: максимальное значение модуля суммы и модуля разности равно $12\text{ см}$, минимальное — $2\text{ см}$.