номер 6, страница 177 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

6.Гиря висит на лёгком резиновом шнуре жёсткостью $k = 40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$. Определите потенциальную энергию резинового шнура, который под действием гири удлинился на $\Delta l_1 = 5,0 \text{ см}$. Какую работу должна совершить внешняя сила, чтобы растянуть шнур ещё на $\Delta l_2 = 3,0 \text{ см}$?

Дано:
$k = 40\text{ Н/м}$
$\Delta l_1 = 5{,}0\text{ см} = 0{,}05\text{ м}$
$\Delta l_2 = 3{,}0\text{ см} = 0{,}03\text{ м}$

Найти: $E_{p1}$, $A$

Решение:

1. Потенциальная энергия упруго деформированного шнура определяется по формуле:
$$E_{p1} = \frac{k \cdot (\Delta l_1)^2}{2}$$

Подставим числовые значения:
$$E_{p1} = \frac{40\text{ Н/м} \cdot (0{,}05\text{ м})^2}{2} = 20 \cdot 0{,}0025\text{ Дж} = 0{,}05\text{ Дж}$$

2. Найдём работу внешней силы для дополнительного растяжения шнура на $\Delta l_2$.

В начальном состоянии гиря находится в равновесии, то есть сила тяжести уравновешена начальной силой упругости:
$$m g = F_{\text{упр}1} = k \cdot \Delta l_1$$

При медленном (без сообщения кинетической энергии) растяжении шнура вниз на величину $x$ (где $x$ изменяется от $0$ до $\Delta l_2$) на гирю действуют три силы: внешняя сила $F_{\text{внеш}}$, направленная вниз, сила тяжести $m g$, направленная вниз, и сила упругости $F_{\text{упр}} = k(\Delta l_1 + x)$, направленная вверх.

Из условия медленного растяжения гири:
$$F_{\text{внеш}} + m g = F_{\text{упр}}$$ $$F_{\text{внеш}} = k(\Delta l_1 + x) - m g$$

Так как $m g = k \cdot \Delta l_1$, получаем линейную зависимость внешней силы от дополнительного удлинения:
$$F_{\text{внеш}}(x) = k \cdot x$$

В начале дополнительного растяжения сила равна нулю, а в конце достигает значения $F_{\text{внеш, max}} = k \cdot \Delta l_2$. Работа переменной силы, линейно зависящей от перемещения, равна:
$$A = \frac{F_{\text{внеш, max}}}{2} \cdot \Delta l_2 = \frac{k \cdot (\Delta l_2)^2}{2}$$

Вычислим работу:
$$A = \frac{40\text{ Н/м} \cdot (0{,}03\text{ м})^2}{2} = 20 \cdot 0{,}0009\text{ Дж} = 0{,}018\text{ Дж} = 18\text{ мДж}$$

(Примечание: если в задаче не учитывается действие силы тяжести гири, а рассматривается только работа против силы упругости шнура, то она равна изменению его потенциальной энергии: $A' = \frac{k(\Delta l_1 + \Delta l_2)^2}{2} - \frac{k(\Delta l_1)^2}{2} = \frac{40 \cdot (0{,}08^2 - 0{,}05^2)}{2} = 0{,}078\text{ Дж}$).

Ответ: $E_{p1} = 0{,}05\text{ Дж}$; $A = 0{,}018\text{ Дж}$ (или $0{,}078\text{ Дж}$ без учёта силы тяжести).