номер 8, страница 177 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

8.На легкой нерастяжимой нити подвешен железный шарик. Нить с шариком отклоняют от вертикали на некоторый угол $\alpha$ (рис. 265) и отпускают. Определите угол $\alpha$, если при прохождении шариком положения равновесия сила натяжения нити будет в $k = 4$ раза больше минимальной. Сопротивлением движению шарика пренебречь.

Дано:
$k = 4$
Найти: $\alpha$

Решение:

1. Рассмотрим движение шарика по дуге окружности радиусом $l$ (где $l$ — длина нити). Согласно закону сохранения механической энергии, потенциальная энергия шарика в начальном положении переходит в кинетическую энергию при прохождении им нижней точки:

$$mgh = \frac{m v^2}{2}$$

Высота подъёма шарика относительно положения равновесия выражается через угол отклонения нити $\alpha$:
$$h = l - l\cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$$
Отсюда квадрат скорости шарика в нижней точке равен:
$$v^2 = 2gl(1 - \cos\alpha)$$

2. Найдём минимальную силу натяжения нити $T_{\text{min}}$. Скорость шарика равна нулю в крайних точках траектории (в момент отпускания, когда угол равен $\alpha$). В этот момент центростремительное ускорение отсутствует, и проекция второго закона Ньютона на ось, направленную вдоль нити, имеет вид:
$$T_{\text{min}} - mg\cos\alpha = 0 \implies T_{\text{min}} = mg\cos\alpha$$

3. Найдём силу натяжения нити $T_0$ в нижней точке (в положении равновесия). В этой точке шарик обладает максимальной скоростью $v$ и движется с центростремительным ускорением $a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{l}$, направленным вертикально вверх. По второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$$T_0 - mg = m a_{\text{ц}} = \frac{m v^2}{l}$$
Подставим ранее найденное выражение для $v^2$:
$$T_0 = mg + \frac{m \cdot 2gl(1 - \cos\alpha)}{l} = mg + 2mg(1 - \cos\alpha) = mg(3 - 2\cos\alpha)$$

4. По условию задачи, сила натяжения нити в положении равновесия в $k = 4$ раза больше минимальной:
$$T_0 = k \cdot T_{\text{min}}$$

Подставим полученные выражения в данное соотношение:
$$mg(3 - 2\cos\alpha) = 4mg\cos\alpha$$

Разделим обе части уравнения на $mg$ ($mg \neq 0$):
$$3 - 2\cos\alpha = 4\cos\alpha$$
$$6\cos\alpha = 3$$
$$\cos\alpha = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
$$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$$

Ответ: $\alpha = 60^\circ$