номер 1, страница 180 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

Лабораторная работа № 1
Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений

Цель: научиться определять абсолютную и относительную погрешности прямых измерений и представлять результат измерений в интервальной форме.

Оборудование: металлический шарик на нити длиной $l = 1$ м, секундомер, штатив со стержнем, треугольник (Рис. 267).

Вывод расчётных формул

Прямым называется измерение, при котором значение искомой величины находится непосредственно по шкале прибора. Результат любого измерения содержит погрешности. Систематическая погрешность связана в основном с несовершенством измерительного прибора и округлениями при отсчётах и вычислениях. При повторении измерений систематическая погрешность остаётся неизменной.

Случайная погрешность — это погрешность, которая от одного измерения к другому изменяется непредсказуемым образом. Для определения случайной погрешности необходимо провести серию повторных измерений.

Абсолютная погрешность измерений промежутка времени равна

$$ \Delta t = \Delta t_{\text{сист}} + \Delta t_{\text{случ}}. $$

(1)

Абсолютная систематическая погрешность $\Delta t_{\text{сист}}$ определяется суммой предельной абсолютной погрешности прибора (секундомера) $\Delta t_{\text{пр}}$ и абсолютной погрешности отсчёта $\Delta t_{\text{отсч}}$:

$$ \Delta t_{\text{сист}} = \Delta t_{\text{пр}} + \Delta t_{\text{отсч}}. $$

Значение $\Delta t_{\text{пр}}$ берётся из таблицы 4. Абсолютная погрешность отсчёта $\Delta t_{\text{отсч}}$ равна дискретности отсчёта времени электронного секундомера.

Максимальное значение абсолютной случайной погрешности измерения промежутка времени

$$ \Delta t_{\text{случ}}^{\text{max}} = \langle \Delta t_{\text{случ}} \rangle \cdot k, $$

(2)

где $\langle \Delta t_{\text{случ}} \rangle$ — среднее значение абсолютной случайной погрешности.

Коэффициент $k$ зависит от числа повторных измерений. Например, при $5-6$ повторных измерениях $k=3$, при $7-9$ — $k=2$, при $10$ и более — $k=1$.

Относительная погрешность $\varepsilon$, определяет, какую часть в процентах от среднего значения измеряемой величины (промежутка времени) составляет значение абсолютной погрешности:

$$ \varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t \rangle} \cdot 100\ \%. $$

(3)

Окончательный результат записывается в интервальной форме:

$$ t = (\langle t \rangle \pm \Delta t)\text{ с}; \quad \varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t \rangle} \cdot 100\ \%. $$

Например, $t=(5,0 \pm 0,1)$ с, тогда $\varepsilon_t = \frac{0,1}{5,0} ... \cdot 100\ \% = 2\ \%.

Ход работы

1. К стержню штатива прикрепить нить с шариком (рис. 267). Отведите шарик в сторону (точку А) так, чтобы нить составила с вертикалью угол $\alpha = 30^{\circ}$ (угол определяется треугольником). Отпустите шарик и, одновременно нажав на кнопку секундомера, измерьте минимальный промежуток времени, через который шарик снова окажется в точке А.

2. Повторите опыт ещё 4 раза. Результаты измерений занесите в таблицу.

3. Вычислите среднее значение промежутка времени:

$$ \langle t \rangle = \frac{t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5}{5}. $$

4. Вычислите абсолютную случайную погрешность при каждом измерении и среднее значение $\Delta t_{\text{случ}}$ при пяти измерениях:

$$ \Delta t_{\text{случ1}} = |t_1 - \langle t \rangle|; \quad \Delta t_{\text{случ2}} = |t_2 - \langle t \rangle|; \dots; \Delta t_{\text{случ5}} = |t_5 - \langle t \rangle|; $$ $$ \langle \Delta t_{\text{случ}} \rangle = \frac{\Delta t_{\text{случ1}} + \Delta t_{\text{случ2}} + \dots + \Delta t_{\text{случ5}}}{5}. $$

5. Определите максимальное значение случайной погрешности:

$$ \Delta t_{\text{случ}}^{\text{max}} = 3 \langle \Delta t_{\text{случ}} \rangle. $$

6. Определите абсолютную систематическую погрешности:

$$ \Delta t_{\text{сист}} = \Delta t_{\text{пр}} + \Delta t_{\text{отсч}}. $$

Предельную абсолютную погрешность $\Delta t_{\text{пр}}$ найдите в таблице 4. Определите абсолютную погрешность отсчёта $\Delta t_{\text{отсч}}$ секундомера.

7. Вычислите абсолютную $\Delta t$ погрешность прямого измерения промежутка времени:

$$ \Delta t = \Delta t_{\text{случ}}^{\text{max}} + \Delta t_{\text{сист}}. $$

8. Вычислите относительную погрешность $\varepsilon_t$ измерения:

$$ \varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t \rangle} \cdot 100\ \%. $$

9. Запишите окончательный результат измерений в интервальной форме:

$$ t = (\langle t \rangle \pm \Delta t)\text{ с}; \quad \varepsilon_t = \dots\ \%. $$

10. Сделайте выводы.

Контрольные вопросы

1. Почему нельзя абсолютно точно измерить прибором физическую величину?

2. Будет ли одинаковой относительная погрешность измерения промежутка времени, если нить с шариком отклонить на угол $30^{\circ}$ и на угол $45^{\circ}$? Почему?

3. Если при трёх и более повторных измерениях данных прибором получены одинаковые значения физической величины, то чему равны абсолютные случайная и систематическая погрешности? Относительная погрешность?

Таблица 4. Предельные абсолютные погрешности некоторых мер и приборов

Лабораторная работа № 1. Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений

Цель работы: научиться определять абсолютную и относительную погрешности прямых измерений и представлять результат измерений в интервальной форме.
Оборудование: металлический шарик на нити длиной $l = 1\text{ м}$, электронный секундомер (с дискретностью отсчёта $0{,}01\text{ с}$), штатив со стержнем, треугольник.

Ход работы:

3.Вычисление среднего значения промежутка времени:
$$\langle t \rangle = \frac{t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5}{5} = \frac{2{,}05 + 1{,}98 + 2{,}03 + 1{,}96 + 2{,}08}{5} = \frac{10{,}10}{5} = 2{,}02\text{ с}$$

4.Вычисление абсолютной случайной погрешности каждого измерения и её среднего значения:
$\Delta t_{\text{случ} 1} = |2{,}05 - 2{,}02| = 0{,}03\text{ с}$;
$\Delta t_{\text{случ} 2} = |1{,}98 - 2{,}02| = 0{,}04\text{ с}$;
$\Delta t_{\text{случ} 3} = |2{,}03 - 2{,}02| = 0{,}01\text{ с}$;
$\Delta t_{\text{случ} 4} = |1{,}96 - 2{,}02| = 0{,}06\text{ с}$;
$\Delta t_{\text{случ} 5} = |2{,}08 - 2{,}02| = 0{,}06\text{ с}$.
$$\langle \Delta t_{\text{случ}} \rangle = \frac{0{,}03 + 0{,}04 + 0{,}01 + 0{,}06 + 0{,}06}{5} = \frac{0{,}20}{5} = 0{,}04\text{ с}$$

5.Определение максимального значения случайной погрешности (при 5 измерениях коэффициент $k = 3$):
$$\Delta t_{\text{случ}}^{\max} = 3 \cdot \langle \Delta t_{\text{случ}} \rangle = 3 \cdot 0{,}04\text{ с} = 0{,}12\text{ с}$$

6.Определение абсолютной систематической погрешности:
По таблице 4 для электронного секундомера с дискретностью отсчёта $0{,}01\text{ с}$ предельная погрешность прибора равна $\Delta t_{\text{пр}} = 0{,}01\text{ с}$, а погрешность отсчёта равна цене деления (дискретности) $\Delta t_{\text{отсч}} = 0{,}01\text{ с}$.
$$\Delta t_{\text{сист}} = \Delta t_{\text{пр}} + \Delta t_{\text{отсч}} = 0{,}01\text{ с} + 0{,}01\text{ с} = 0{,}02\text{ с}$$

7.Вычисление абсолютной погрешности прямого измерения промежутка времени:
$$\Delta t = \Delta t_{\text{случ}}^{\max} + \Delta t_{\text{сист}} = 0{,}12\text{ с} + 0{,}02\text{ с} = 0{,}14\text{ с}$$

8.Вычисление относительной погрешности измерения:
$$\varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t \rangle} \cdot 100\% = \frac{0{,}14}{2{,}02} \cdot 100\% \approx 6{,}9\% \approx 7\%$$

9.Окончательный результат в интервальной форме:
$$t = (2{,}02 \pm 0{,}14)\text{ с};\quad \varepsilon_t \approx 7\%$$

10.Вывод: в ходе лабораторной работы были освоены методы прямых измерений времени колебания маятника, произведён учёт случайной погрешности серии измерений и систематической погрешности прибора. Полученное значение времени одного полного колебания составляет $t = (2{,}02 \pm 0{,}14)\text{ с}$ при относительной погрешности $\varepsilon_t \approx 7\%$, что свидетельствует о достаточной точности проведённого эксперимента.

Ответы на контрольные вопросы:

1.Почему нельзя абсолютно точно измерить прибором физическую величину?
Абсолютно точных измерений не существует, поскольку любой измерительный прибор обладает конструктивным несовершенством (конечная цена деления шкалы, трение деталей, неидеальность градуировки), на процесс измерения неизбежно влияют изменяющиеся внешние условия (колебания температуры, давления, потоки воздуха), а также присутствует человеческий фактор (время реакции экспериментатора при пуске и остановке секундомера).

2.Будет ли одинаковой относительная погрешность измерения промежутка времени, если нить с шариком отклонить на угол $30^\circ$ и на угол $45^\circ$? Почему?
Относительная погрешность практически не изменится (будет приблизительно одинаковой). Период колебаний нитяного маятника при углах до $45^\circ$ остаётся практически неизменным (увеличивается незначительно, менее чем на $4\%$). Абсолютная погрешность прибора и времени реакции человека также остаётся постоянной. Поскольку $\varepsilon_t = \frac{\Delta t}{\langle t \rangle} \cdot 100\%$, отношение абсолютной погрешности к измеряемому времени практически сохранит свою величину.

3.Если при трёх и более повторных измерениях данным прибором получены одинаковые значения физической величины, то чему равны абсолютные случайная и систематическая погрешности? Относительная погрешность?

• Абсолютная случайная погрешность равна нулю ($\Delta t_{\text{случ}} = 0$), так как отклонения каждого отдельного измерения от среднего значения отсутствуют.
• Абсолютная систематическая погрешность не равна нулю и полностью определяется свойствами прибора: $\Delta t_{\text{сист}} = \Delta t_{\text{пр}} + \Delta t_{\text{отсч}}$. Соответственно, полная абсолютная погрешность равна систематической: $\Delta t = \Delta t_{\text{сист}}$.
• Относительная погрешность рассчитывается через систематическую погрешность и измеренное значение: $\varepsilon = \frac{\Delta t_{\text{сист}}}{\langle t \rangle} \cdot 100\%$.