номер 13, страница 178 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

13.Два маленьких липких шарика массами $m_1 = 32 \text{ г}$ и $m_2 = 16 \text{ г}$ подвесили на невесомых нерастяжимых нитях одинаковой длины $l = 54 \text{ см}$ так, что поверхности шариков соприкасались. Затем нить, на которой подвешен первый шарик, отклонили в сторону настолько, чтобы она составила с вертикалью угол $\alpha = 90^\circ$, и отпустили её и шарик без начальной скорости. После неупругого столкновения шарики слиплись и стали двигаться как единое целое. Определите максимальную высоту, на которую они поднялись после столкновения относительно положения равновесия. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:
$m_1 = 32\text{ г} = 0{,}032\text{ кг}$
$m_2 = 16\text{ г} = 0{,}016\text{ кг}$
$l = 54\text{ см} = 0{,}54\text{ м}$
$\alpha = 90^\circ$
Найти: $h$

Решение:

Разобьем движение шариков на три последовательных этапа:

1. Движение первого шарика до столкновения.
Так как нить отклонили на угол $\alpha = 90^\circ$, начальная высота первого шарика относительно нижней точки равна длине нити: $$h_0 = l$$ По закону сохранения механической энергии (сопротивлением воздуха пренебрегаем) потенциальная энергия шарика в верхней точке полностью переходит в кинетическую в нижней точке перед соударением: $$m_1 g l = \frac{m_1 v_1^2}{2}$$ Отсюда скорость первого шарика перед ударом равна: $$v_1 = \sqrt{2gl}$$

2. Неупругое соударение шариков.
В нижней точке траектории шарики сталкиваются и слипаются. Время соударения очень мало, поэтому применим закон сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление: $$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$$ где $u$ — скорость обоих слипшихся шариков сразу после удара. Выразим её: $$u = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_1$$

3. Движение слипшихся шариков после столкновения.
После взаимодействия шарики как единое тело массой $(m_1 + m_2)$ поднимаются на максимальную высоту $h$. По закону сохранения механической энергии кинетическая энергия сразу после удара переходит в потенциальную энергию на высоте $h$: $$\frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = (m_1 + m_2) g h$$ Отсюда выразим максимальную высоту подъема: $$h = \frac{u^2}{2g}$$

Подставим выражение для скорости $u$: $$h = \frac{1}{2g} \left( \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_1 \right)^2 = \frac{1}{2g} \cdot \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right)^2 \cdot v_1^2$$ Так как $v_1^2 = 2gl$, получаем: $$h = \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right)^2 \cdot l$$

Подставим числовые значения: $$h = \left(\frac{32}{32 + 16}\right)^2 \cdot 54 = \left(\frac{32}{48}\right)^2 \cdot 54 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 54 = \frac{4}{9} \cdot 54 = 24\text{ см} = 0{,}24\text{ м}$$

Ответ: $h = 24\text{ см}$ (или $0{,}24\text{ м}$).