номер 7, страница 177 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

шнур еще на $\Delta l_2 = 5,0$ см?

7.К нижнему концу лёгкой недеформированной пружины прикрепили груз массой $m = 500$ г и отпустили. Жёсткость пружины $k = 40 \frac{\text{Н}}{\text{М}}$. Определите модуль максимальной скорости движения груза. Сопротивлением движению груза пренебречь.

7.Дано:
$m = 500\text{ г} = 0{,}5\text{ кг}$
$k = 40\text{ Н/м}$
$g \approx 10\text{ м/с}^2$
Найти: $v_{\max}$

Решение:
1. После того как груз отпустили, он начинает ускоренно двигаться вниз под действием силы тяжести, растягивая пружину. По мере растяжения пружины сила упругости возрастает. Модуль скорости движения груза будет максимальным в тот момент, когда ускорение станет равным нулю (в положении динамического равновесия).
В этот момент сила тяжести уравновешивается силой упругости:
$$F_{\text{тяж}} = F_{\text{упр}}$$ $$mg = kx_0$$ где $x_0$ — величина деформации пружины в положении равновесия:
$$x_0 = \frac{mg}{k}$$

2. Так как сопротивлением движению груза пренебрегают, механическая энергия системы сохраняется. Примем начальное положение недеформированной пружины за нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии.
По закону сохранения механической энергии, изменение потенциальной энергии переходит в кинетическую энергию груза и потенциальную энергию упругой деформации пружины:
$$mgx_0 = \frac{m v_{\max}^2}{2} + \frac{k x_0^2}{2}$$ Выразим кинетическую энергию:
$$\frac{m v_{\max}^2}{2} = mgx_0 - \frac{k x_0^2}{2}$$ Подставим выражение $mg = k x_0$:
$$\frac{m v_{\max}^2}{2} = k x_0^2 - \frac{k x_0^2}{2} = \frac{k x_0^2}{2}$$ Отсюда получаем формулу для максимальной скорости:
$$m v_{\max}^2 = k x_0^2 \implies v_{\max} = x_0 \sqrt{\frac{k}{m}}$$

3. Подставим выражение для $x_0 = \frac{mg}{k}$ в полученную формулу:
$$v_{\max} = \frac{mg}{k}\sqrt{\frac{k}{m}} = g\sqrt{\frac{m}{k}}$$ Выполним расчёт:
$$v_{\max} = 10 \cdot \sqrt{\frac{0{,}5}{40}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{1}{80}} = \frac{10}{\sqrt{80}} \approx 1{,}12\text{ м/с}$$(при использовании значения ускорения свободного падения $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$: $v_{\max} \approx 1{,}10\text{ м/с}$)

Ответ: $v_{\max} \approx 1{,}1\text{ м/с}$