номер 9, страница 41 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

9.Поперёк реки натянут трос. Пловец должен переправиться через реку, плывя параллельно тросу. Модуль скорости течения воды $v_1 = 0,5 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Под каким углом к тросу должна быть направлена скорость движения пловца $\vec{v}_2$ относительно воды, если её модуль $v_2 = 1,0 \frac{\text{М}}{\text{с}}$?

Чему равен модуль скорости движения пловца относительно берега?

Сколько времени займёт переправа при ширине реки $l = 52 \text{ м}$?

9.Поперёк реки натянут трос. Пловец должен переправиться через реку, плывя параллельно тросу. Модуль скорости течения воды $v_1 = 0{,}5\text{ м/с}$. Под каким углом к тросу должна быть направлена скорость движения пловца $\vec{v}_2$ относительно воды, если её модуль $v_2 = 1{,}0\text{ м/с}$? Чему равен модуль скорости движения пловца относительно берега? Сколько времени займёт переправа при ширине реки $l = 52\text{ м}$?

Дано:
$v_1 = 0{,}5\text{ м/с}$
$v_2 = 1{,}0\text{ м/с}$
$l = 52\text{ м}$

Найти: $\alpha$, $v$, $t$

Решение:

Согласно классическому закону сложения скоростей, вектор скорости пловца относительно берега $\vec{v}$ равен векторной сумме скорости течения реки $\vec{v}_1$ и скорости пловца относительно воды $\vec{v}_2$:

$$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$$

По условию задачи пловец перемещается строго параллельно тросу, натянутому поперёк реки, то есть вектор результирующей скорости $\vec{v}$ направлен перпендикулярно вектору скорости течения $\vec{v}_1$ ($\vec{v} \perp \vec{v}_1$).

Векторы $\vec{v}$, $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ образуют прямоугольный треугольник, где гипотенузой является скорость пловца относительно воды $\vec{v}_2$, а катетами — скорость течения $\vec{v}_1$ и скорость относительно берега $\vec{v}$.

Пусть $\alpha$ — угол между направлением вектора скорости пловца относительно воды $\vec{v}_2$ и тросом. Из геометрического построения синус этого угла равен отношению противолежащего катета $v_1$ к гипотенузе $v_2$:

$$\sin\alpha = \frac{v_1}{v_2} = \frac{0{,}5}{1{,}0} = 0{,}5 \implies \alpha = 30^\circ$$

Следовательно, пловец должен плыть под углом $30^\circ$ к тросу, направляя своё движение вверх против течения реки.

Модуль скорости движения пловца относительно берега найдём по теореме Пифагора:

$$v = \sqrt{v_2^2 - v_1^2} = \sqrt{1{,}0^2 - 0{,}5^2} = \sqrt{1 - 0{,}25} = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}866\text{ м/с} \approx 0{,}87\text{ м/с}$$

Время, необходимое для переправы через реку шириной $l$, определяется формулой равномерного прямолинейного движения:

$$t = \frac{l}{v} = \frac{52}{\sqrt{0{,}75}} \approx \frac{52}{0{,}866} \approx 60\text{ с} = 1\text{ мин}$$

Ответ: скорость пловца должна быть направлена под углом $\alpha = 30^\circ$ к тросу против течения реки; скорость относительно берега $v \approx 0{,}87\text{ м/с}$; время переправы $t \approx 60\text{ с}$ (1 минута).