Номер 6, страница 142 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Найдите синус угла $BAC$, изображенного на клетчатой бумаге (см. рис.).

Для нахождения синуса угла $BAC$ воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике. Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Рассмотрим треугольник $ABC$, изображенный на клетчатой бумаге. Чтобы использовать определение синуса, построим прямоугольный треугольник, содержащий искомый угол. Для этого опустим из вершины $B$ высоту $BH$ на прямую, содержащую сторону $AC$. В получившемся прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $BAH$ равен углу $BAC$.

Примем сторону одной клетки за единицу длины. Определим длины катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника $ABH$ по рисунку.

Катет $BH$ противолежит углу $BAH$. Его длина равна высоте точки $B$ над прямой $AC$. Посчитав клетки, получаем $BH = 3$.

Катет $AH$ прилежит к углу $BAH$. Его длина равна проекции отрезка $AB$ на прямую $AC$. Посчитав клетки, получаем $AH = 2$.

Теперь найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$ $AB^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

Следовательно, $AB = \sqrt{13}$.

Зная длины противолежащего катета $BH$ и гипотенузы $AB$, можем вычислить синус угла $BAC$: $\sin(\angle BAC) = \sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB} = \frac{3}{\sqrt{13}}$.

Принято представлять ответ без иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{13}$: $\frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{13}}{13}$