Номер 10, страница 143 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ перпендикулярна биссектрисе $BK$. Найдите длину стороны $AB$, если $AM = BK = 20$.

Пусть в треугольнике $ABC$ медиана $AM$ и биссектриса $BK$ пересекаются в точке $P$. По условию задачи, $AM$ перпендикулярна $BK$, что означает, что угол между ними равен $90^\circ$, т.е. $\angle APB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В этом треугольнике отрезок $BP$ является высотой (так как $BP \perp AM$) и одновременно биссектрисой угла $\angle ABM$ (так как $BK$ — биссектриса $\angle ABC$).

Треугольник, в котором биссектриса одного из углов совпадает с высотой, опущенной из той же вершины, является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $ABM$ — равнобедренный с основанием $AM$, и его боковые стороны $AB$ и $BM$ равны: $AB = BM$.

По определению, $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$. Это значит, что точка $M$ является серединой стороны $BC$, и $BC = 2 \cdot BM$.

Так как мы установили, что $AB = BM$, мы можем выразить длину стороны $BC$ через длину стороны $AB$: $BC = 2 \cdot AB$.

Теперь воспользуемся свойством биссектрисы $BK$ в треугольнике $ABC$. Биссектриса делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки $AK$ и $KC$, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $BC$: $\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$

Подставив соотношение $BC = 2 \cdot AB$, получим: $\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{2 \cdot AB} = \frac{1}{2}$.

Для нахождения длины стороны $AB$ воспользуемся формулами для длины медианы и биссектрисы. Пусть $AB = x$ и $AC = y$. Тогда $BC = 2x$. Из соотношения $\frac{AK}{KC} = \frac{1}{2}$ следует, что $AK = \frac{1}{3} AC = \frac{y}{3}$ и $KC = \frac{2}{3} AC = \frac{2y}{3}$.

Длина медианы $AM$ вычисляется по формуле: $AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$

Подставим известные значения $AM=20$, $AB=x$, $AC=y$ и $BC=2x$: $20^2 = \frac{2x^2 + 2y^2 - (2x)^2}{4}$ $400 = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4x^2}{4}$ $1600 = 2y^2 - 2x^2$ $800 = y^2 - x^2$ (1)

Длина биссектрисы $BK$ вычисляется по формуле: $BK^2 = AB \cdot BC - AK \cdot KC$

Подставим известные значения $BK=20$, $AB=x$, $BC=2x$, $AK=\frac{y}{3}$, $KC=\frac{2y}{3}$: $20^2 = x \cdot (2x) - \frac{y}{3} \cdot \frac{2y}{3}$ $400 = 2x^2 - \frac{2y^2}{9}$

Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от знаменателя: $3600 = 18x^2 - 2y^2$ $1800 = 9x^2 - y^2$ (2)

Мы получили систему из двух линейных относительно $x^2$ и $y^2$ уравнений: $\begin{cases} y^2 - x^2 = 800 \\ 9x^2 - y^2 = 1800 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y^2$: $y^2 = x^2 + 800$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $9x^2 - (x^2 + 800) = 1800$ $9x^2 - x^2 - 800 = 1800$ $8x^2 = 2600$ $x^2 = \frac{2600}{8} = 325$ $x = \sqrt{325} = \sqrt{25 \cdot 13} = 5\sqrt{13}$.

Так как $x$ — это длина стороны $AB$, мы нашли искомую величину.

Ответ: $5\sqrt{13}$.