Номер 6, страница 144 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Найдите косинус угла $\angle ACB$, изображенного на клетчатой бумаге (см. рис.).

Для нахождения косинуса угла $ACB$ введем систему координат, используя узлы сетки. Примем длину стороны одной клетки за единицу.

Разместим вершину $A$ в начало координат, то есть точка $A$ будет иметь координаты $(0, 0)$.

Теперь определим координаты остальных вершин треугольника, отталкиваясь от положения точки $A$:

• Вершина $C$ находится на 6 клеток правее вершины $A$ по горизонтали, поэтому ее координаты будут $C(6, 0)$.
• Вершина $B$ смещена на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх относительно вершины $A$, следовательно, ее координаты будут $B(2, 3)$.

Чтобы найти косинус угла $ACB$, мы можем воспользоваться одним из двух способов: теоремой косинусов или построением прямоугольного треугольника. Второй способ в данном случае является более простым.

Опустим перпендикуляр из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Назовем точку пересечения $H$. Поскольку сторона $AC$ лежит на оси $Ox$, то перпендикуляр $BH$ будет отрезком вертикальной прямой $x=2$. Таким образом, точка $H$ имеет координаты $(2, 0)$.

В результате мы получили прямоугольный треугольник $BHC$, в котором угол $\angle BCH$ равен искомому углу $\angle ACB$.

Найдем длины сторон этого прямоугольного треугольника:

• Длина катета $HC$, прилежащего к углу $C$, равна разности абсцисс точек $C$ и $H$: $HC = |6 - 2| = 4$.
• Длина катета $BH$, противолежащего углу $C$, равна разности ординат точек $B$ и $H$: $BH = |3 - 0| = 3$.
• Длину гипотенузы $BC$ можно найти по теореме Пифагора: $BC^2 = HC^2 + BH^2$.
  $BC = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

$\cos(\angle ACB) = \cos(\angle BCH) = \frac{HC}{BC} = \frac{4}{5}$

Для записи ответа переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{4}{5} = 0,8$

Ответ: $0,8$.