Номер 8, страница 145 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Упростите выражение $(x^2 + 2)(x^4 + 4)(x^8 + 16)\frac{x^2 - 2}{x^{16} - 256}$

Чтобы упростить выражение $(x^2 + 2)(x^4 + 4)(x^8 + 16)\frac{x^2 - 2}{x^{16} - 256}$, запишем его в виде одной дроби и перегруппируем множители в числителе:

$\frac{(x^2 - 2)(x^2 + 2)(x^4 + 4)(x^8 + 16)}{x^{16} - 256}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и будем последовательно упрощать (сворачивать) числитель.

Сначала перемножим первые две скобки: $(x^2 - 2)(x^2 + 2) = (x^2)^2 - 2^2 = x^4 - 4$.

После этого выражение примет вид:

$\frac{(x^4 - 4)(x^4 + 4)(x^8 + 16)}{x^{16} - 256}$

Далее, перемножим первые две скобки в новом числителе: $(x^4 - 4)(x^4 + 4) = (x^4)^2 - 4^2 = x^8 - 16$.

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{(x^8 - 16)(x^8 + 16)}{x^{16} - 256}$

И, наконец, перемножим оставшиеся скобки в числителе: $(x^8 - 16)(x^8 + 16) = (x^8)^2 - 16^2 = x^{16} - 256$.

В результате мы получаем дробь, где числитель равен знаменателю:

$\frac{x^{16} - 256}{x^{16} - 256}$

При условии, что знаменатель не равен нулю (то есть $x^{16} \neq 256$), значение этого выражения равно 1.

Ответ: $1$