Номер 9, страница 145 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажерный зал, находящийся на расстоянии $1 \text{ км } 200 \text{ м}$ от дома. Дойдя до тренажерного зала, сестра вспомнила, что забыла абонемент, и с той же скоростью отправилась домой. На каком расстоянии от тренажерного зала сестра встретит брата, если скорость брата $2\text{,}4 \text{ км/ч}$, а скорость сестры $3 \text{ км/ч}$?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать несколько величин: время, которое сестра шла до зала; расстояние, которое за это время прошел брат; расстояние между ними в момент разворота сестры; и, наконец, время и расстояние до их встречи.

Решение

Сначала приведем все данные к единой системе измерений. Расстояние от дома до тренажерного зала составляет $S = 1 \text{ км } 200 \text{ м} = 1.2 \text{ км}$. Скорость сестры $v_с = 3 \text{ км/ч}$, а скорость брата $v_б = 2.4 \text{ км/ч}$.

Найдем время, которое потребовалось сестре, чтобы дойти до тренажерного зала. Для этого разделим расстояние на ее скорость:
$t_1 = \frac{S}{v_с} = \frac{1.2 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 0.4 \text{ часа}$.

За это же время брат, вышедший одновременно с сестрой, прошел часть пути. Рассчитаем это расстояние, умножив его скорость на время $t_1$:
$S_б = v_б \cdot t_1 = 2.4 \text{ км/ч} \cdot 0.4 \text{ ч} = 0.96 \text{ км}$.

В тот момент, когда сестра достигла тренажерного зала и повернула обратно, брат находился на расстоянии $0.96$ км от дома. Таким образом, расстояние между ними составляло:
$\Delta S = S - S_б = 1.2 \text{ км} - 0.96 \text{ км} = 0.24 \text{ км}$.

После разворота сестра и брат начали двигаться навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_с + v_б = 3 \text{ км/ч} + 2.4 \text{ км/ч} = 5.4 \text{ км/ч}$.

Теперь мы можем найти время $t_2$, через которое они встретятся. Для этого разделим расстояние между ними на скорость сближения:
$t_2 = \frac{\Delta S}{v_{сбл}} = \frac{0.24 \text{ км}}{5.4 \text{ км/ч}} = \frac{24}{540} = \frac{2}{45} \text{ часа}$.

Искомое расстояние — это путь, который пройдет сестра от тренажерного зала до места встречи за время $t_2$. Рассчитаем это расстояние:
$S_{встречи} = v_с \cdot t_2 = 3 \text{ км/ч} \cdot \frac{2}{45} \text{ ч} = \frac{6}{45} \text{ км} = \frac{2}{15} \text{ км}$.

Чтобы лучше представить это расстояние, можно перевести его в метры:
$\frac{2}{15} \text{ км} = \frac{2}{15} \cdot 1000 \text{ м} = \frac{2000}{15} \text{ м} = \frac{400}{3} \text{ м} \approx 133.3 \text{ м}$.

Ответ: сестра встретит брата на расстоянии $\frac{2}{15}$ км от тренажерного зала.