Номер 10, страница 145 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В треугольнике $ABC$ медиана $AK$ перпендикулярна биссектрисе $BM$. Найдите длину стороны $AB$, если $AK = BM = 12$.

Пусть $O$ — точка пересечения медианы $AK$ и биссектрисы $BM$. По условию задачи, медиана перпендикулярна биссектрисе, следовательно, $AK \perp BM$, а угол $\angle AOB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. В этом треугольнике отрезок $BO$ является одновременно биссектрисой угла $\angle ABK$ (так как $BO$ — часть биссектрисы $BM$) и высотой, опущенной на сторону $AK$ (поскольку $BO \perp AK$). Если в треугольнике биссектриса является высотой, то такой треугольник — равнобедренный. Следовательно, треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$, и его боковые стороны равны: $AB = BK$.

Поскольку $AK$ — медиана треугольника $ABC$, она делит сторону $BC$ пополам в точке $K$. Это означает, что $BC = 2 \cdot BK$. Заменив $BK$ на равную ему сторону $AB$, получаем соотношение между сторонами $BC$ и $AB$: $BC = 2 \cdot AB$.

Так как треугольник $ABK$ равнобедренный с основанием $AK$, его высота $BO$ является также и медианой. Это значит, что точка $O$ делит основание $AK$ пополам. Учитывая, что по условию длина медианы $AK = 12$, находим длину отрезка $AO$: $AO = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$.

Теперь применим теорему Менелая для треугольника $CBM$ и секущей $AOK$. Точки $A, O, K$ лежат на одной прямой. Точка $A$ лежит на продолжении стороны $CM$, точка $O$ лежит на стороне $BM$, и точка $K$ лежит на стороне $BC$. По теореме Менелая: $$ \frac{CA}{AM} \cdot \frac{MO}{OB} \cdot \frac{BK}{KC} = 1 $$

Из свойств медианы мы знаем, что $K$ — середина $BC$, поэтому $BK=KC$ и отношение $\frac{BK}{KC} = 1$.

Используя свойство биссектрисы $BM$ в треугольнике $ABC$, имеем: $\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}$. Ранее мы установили, что $BC = 2 \cdot AB$, значит $\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{2 \cdot AB} = \frac{1}{2}$. Отсюда $MC=2 \cdot AM$, а вся сторона $CA = AM + MC = AM + 2 \cdot AM = 3 \cdot AM$. Таким образом, отношение $\frac{CA}{AM} = 3$.

Подставим найденные отношения в уравнение теоремы Менелая: $$ 3 \cdot \frac{MO}{OB} \cdot 1 = 1 $$ $$ \frac{MO}{OB} = \frac{1}{3} \implies OB = 3 \cdot MO $$

Длина биссектрисы $BM$ равна 12 и состоит из отрезков $BO$ и $OM$: $BM = BO + OM = 12$.

Подставляя $OB = 3 \cdot MO$, получаем: $3 \cdot MO + MO = 12$, откуда $4 \cdot MO = 12$ и $MO = 3$.

Тогда $OB = 3 \cdot 3 = 9$.

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (с прямым углом при вершине $O$). Мы нашли длины его катетов: $AO = 6$ и $BO = 9$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$: $$ AB^2 = AO^2 + BO^2 $$ $$ AB^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117 $$ $$ AB = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13} $$

Ответ: $3\sqrt{13}$.