Номер 7, страница 146 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Упростите выражение

$\left(\frac{x}{2xy-y^2} - \frac{9y}{2x^2-xy}\right) : \frac{9y^2-x^2}{xy^2-2x^2y}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала выполним вычитание дробей в скобках, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в скобках: $ \left( \frac{x}{2xy - y^2} - \frac{9y}{2x^2 - xy} \right) $. Для этого разложим знаменатели на множители:

$ 2xy - y^2 = y(2x - y) $

$ 2x^2 - xy = x(2x - y) $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ xy(2x - y) $:

$ \frac{x}{y(2x - y)} - \frac{9y}{x(2x - y)} = \frac{x \cdot x}{xy(2x - y)} - \frac{9y \cdot y}{xy(2x - y)} = \frac{x^2 - 9y^2}{xy(2x - y)} $.

2. Теперь исходное выражение принимает вид:

$ \frac{x^2 - 9y^2}{xy(2x - y)} : \frac{9y^2 - x^2}{xy^2 - 2x^2y} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{x^2 - 9y^2}{xy(2x - y)} \cdot \frac{xy^2 - 2x^2y}{9y^2 - x^2} $.

3. Разложим на множители числители и знаменатели, где это возможно. Используем формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и вынесение общего множителя за скобки:

$ x^2 - 9y^2 = (x - 3y)(x + 3y) $

$ xy^2 - 2x^2y = xy(y - 2x) $

$ 9y^2 - x^2 = (3y - x)(3y + x) $

Подставим полученные разложения в выражение:

$ \frac{(x - 3y)(x + 3y)}{xy(2x - y)} \cdot \frac{xy(y - 2x)}{(3y - x)(3y + x)} $.

4. Для сокращения дроби заметим, что некоторые множители отличаются только знаком:

$ x - 3y = -(3y - x) $

$ y - 2x = -(2x - y) $

Также учтем, что $ x + 3y = 3y + x $.

Произведем сокращение общих множителей:

$ \frac{-(3y - x) \cdot (3y + x)}{xy(2x - y)} \cdot \frac{xy \cdot (-(2x - y))}{(3y - x)(3y + x)} = \frac{(-1) \cdot (3y-x) \cdot (3y+x) \cdot xy \cdot (-1) \cdot (2x-y)}{xy \cdot (2x-y) \cdot (3y-x) \cdot (3y+x)} $.

После сокращения всех общих множителей $ (3y-x) $, $ (3y+x) $, $ xy $ и $ (2x-y) $ в числителе и знаменателе, остается произведение $ (-1) \cdot (-1) $.

$ (-1) \cdot (-1) = 1 $.

Ответ: 1