Номер 10, страница 147 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Биссектриса угла $A$ делит высоту $BH$ в отношении $5 : 3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC = 12$.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, следовательно, $BH \perp AC$. Обозначим точку пересечения биссектрисы угла $A$ с высотой $BH$ как $M$. Согласно условию, биссектриса делит высоту в отношении $BM:MH = 5:3$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (в котором $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике отрезок $AM$ является биссектрисой угла $BAH$. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Таким образом, мы можем записать: $ \frac{AB}{AH} = \frac{BM}{MH} = \frac{5}{3} $.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ косинус угла $A$ (то есть угла $BAH$) равен отношению прилежащего катета $AH$ к гипотенузе $AB$: $ \cos(A) = \frac{AH}{AB} $.

Из полученной ранее пропорции следует, что $ \cos(A) = \frac{3}{5} $.

Теперь найдем синус угла $A$, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 $. Поскольку $A$ является углом треугольника, его синус положителен ($\sin(A) > 0$): $ \sin(A) = \sqrt{1 - \cos^2(A)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Радиус $R$ описанной около треугольника $ABC$ окружности находится с помощью следствия из теоремы синусов: $ R = \frac{BC}{2\sin(A)} $.

Подставим известные значения $BC = 12$ и $ \sin(A) = 4/5 $: $ R = \frac{12}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{12}{\frac{8}{5}} = \frac{12 \cdot 5}{8} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7,5 $.

Ответ: 7,5