Номер 7, страница 148 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Упростите выражение

$(\left(\frac{a}{3ab - b^2} - \frac{5b}{3a^2 - ab}\right) : \frac{5b^2 - a^2}{ab^2 - 3a^2b}).$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Упрощение выражения в скобках

Первым шагом выполним вычитание дробей в скобках: $ \left( \frac{a}{3ab - b^2} - \frac{5b}{3a^2 - ab} \right) $.

Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:

$3ab - b^2 = b(3a - b)$

$3a^2 - ab = a(3a - b)$

Общий знаменатель для дробей в скобках — это выражение $ab(3a - b)$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, а для второй — $b$.

$ \frac{a \cdot a}{b(3a - b) \cdot a} - \frac{5b \cdot b}{a(3a - b) \cdot b} = \frac{a^2}{ab(3a - b)} - \frac{5b^2}{ab(3a - b)} $

Выполним вычитание числителей, оставив знаменатель без изменений:

$ \frac{a^2 - 5b^2}{ab(3a - b)} $

2. Выполнение деления

Теперь исходное выражение принимает вид:

$ \frac{a^2 - 5b^2}{ab(3a - b)} : \frac{5b^2 - a^2}{ab^2 - 3a^2b} $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь. Заменим деление умножением и перевернем вторую дробь. Также разложим на множители знаменатель второй дроби: $ab^2 - 3a^2b = ab(b - 3a)$.

$ \frac{a^2 - 5b^2}{ab(3a - b)} \cdot \frac{ab(b - 3a)}{5b^2 - a^2} $

Заметим, что выражение $b - 3a$ можно представить как $-(3a - b)$. Подставим это в наше выражение:

$ \frac{a^2 - 5b^2}{ab(3a - b)} \cdot \frac{ab(-(3a - b))}{5b^2 - a^2} $

Теперь можно сократить общие множители $ab$ и $(3a - b)$ в числителе и знаменателе:

$ (a^2 - 5b^2) \cdot \frac{-1}{5b^2 - a^2} = \frac{-(a^2 - 5b^2)}{5b^2 - a^2} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{-a^2 + 5b^2}{5b^2 - a^2} = \frac{5b^2 - a^2}{5b^2 - a^2} $

Так как числитель и знаменатель равны (при условии, что они не равны нулю), то значение дроби равно 1.

Ответ: 1