Номер 6, страница 148 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по катету и проекции этого катета на гипотенузу (запишите только алгоритм построения).

Для решения задачи сначала проведем анализ. Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ построен. Обозначим данный катет как $AC$ (его длина $b$), а его проекцию на гипотенузу $AB$ как $AH$ (ее длина $b_c$). $CH$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. В таком случае треугольник $ACH$ является прямоугольным с прямым углом $H$, так как высота перпендикулярна основанию. В этом вспомогательном треугольнике $ACH$ нам известны гипотенуза $AC=b$ и катет $AH=b_c$. Такой треугольник можно построить. После его построения мы будем знать расположение вершин $A$ и $C$. Вершина $B$ искомого треугольника $ABC$ лежит на прямой $AH$. Кроме того, так как $∠ACB=90°$, прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AC$. Таким образом, точка $B$ является пересечением прямой $AH$ и перпендикуляра к $AC$, проведенного из точки $C$.

На основе этого анализа можно сформулировать следующий алгоритм построения:

1. Провести произвольную прямую $m$ и выбрать на ней точку $H$.

2. Построить прямую $p$, проходящую через точку $H$ и перпендикулярную прямой $m$.

3. На прямой $m$ отложить отрезок $HA$, равный данной длине проекции $b_c$.

4. Из точки $A$ как из центра провести дугу окружности радиусом, равным длине данного катета $b$.

5. Точку пересечения этой дуги и прямой $p$ обозначить как $C$.

6. Провести прямую через точки $A$ и $C$.

7. Построить прямую $k$, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную прямой $AC$.

8. Точку пересечения прямой $k$ и прямой $m$ (на которой лежат точки $A$ и $H$) обозначить как $B$.

9. Соединить точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый, так как по построению $∠ACB=90°$, катет $AC=b$, а проекция этого катета на гипотенузу $AB$ равна $AH=b_c$.

Ответ: Алгоритм построения основан на предварительном построении вспомогательного прямоугольного треугольника, образованного данным катетом (как гипотенузой), его проекцией на гипотенузу (как катетом) и высотой треугольника. Затем находится третья вершина искомого треугольника как точка пересечения прямой, содержащей гипотенузу, и перпендикуляра к построенному катету, восстановленного из его вершины, не лежащей на гипотенузе.