номер 10, страница 149 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Биссектриса угла $C$ делит высоту $BH$ в отношении $13 : 5$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $AB = 48$.

Пусть биссектриса угла $C$ пересекает высоту $BH$ в точке $M$. По условию задачи, точка $M$ делит высоту $BH$ в отношении $13:5$, считая от точки $B$, следовательно, $\frac{BM}{MH} = \frac{13}{5}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Так как $BH$ — высота, то $\angle BHC = 90^\circ$. В этом треугольнике отрезок $CM$ является биссектрисой угла $\angle BCH$.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применив это свойство к треугольнику $BHC$, получаем:

$\frac{BC}{CH} = \frac{BM}{MH}$

Так как нам известно отношение $\frac{BM}{MH} = \frac{13}{5}$, то и

$\frac{BC}{CH} = \frac{13}{5}$

В прямоугольном треугольнике $BHC$ косинус угла $C$ определяется как отношение прилежащего катета $CH$ к гипотенузе $BC$:

$\cos C = \frac{CH}{BC} = \frac{5}{13}$

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, находится по обобщенной теореме синусов, которая связывает сторону треугольника, синус противолежащего угла и радиус описанной окружности:

$R = \frac{AB}{2 \sin C}$

По условию $AB = 48$. Чтобы найти $R$, нам нужно определить $\sin C$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$. Учитывая, что $C$ является углом треугольника и, следовательно, $\sin C > 0$, получаем:

$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

Теперь подставим известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{48}{2 \cdot \frac{12}{13}} = \frac{48}{\frac{24}{13}} = 48 \cdot \frac{13}{24} = 2 \cdot 13 = 26$

Ответ: 26