Номер 6, страница 151 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Дан равнобедренный треугольник с основанием, равным 12 см, и боковой стороной, равной 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Для нахождения радиуса $r$ вписанной в треугольник окружности используется формула $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Дан равнобедренный треугольник с основанием $a = 12$ см и боковыми сторонами $b = c = 10$ см.

1. Найдем полупериметр треугольника (p).

Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон треугольника. $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{12 + 10 + 10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

2. Найдем площадь треугольника (S).

Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит основание на два равных отрезка по $\frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота $h$ и половина основания, а гипотенузой — боковая сторона. По теореме Пифагора найдем высоту $h$: $h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 + 36 = 100$

$h^2 = 100 - 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности (r).

Подставим значения площади и полупериметра в формулу для радиуса: $r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

Ответ: 3 см.