Номер 1, страница 152 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

1. На рисунке изображены два графика линейных функций. Используя график, запишите координаты точки их пересечения. Выберите верный ответ:

а) $ (1; 2) $;

б) $ (4; 2) $;

в) $ (2; 2) $;

г) $ (2; 4) $;

д) $ (4; 0) $.

Задача заключается в нахождении координат точки пересечения двух прямых, графики которых представлены на рисунке. Точка пересечения — это точка, которая принадлежит обоим графикам одновременно. Её координаты можно найти двумя способами.

Способ 1: Визуальный
Самый быстрый способ — это найти точку пересечения непосредственно на графике и определить её координаты по осям.
1. Найдем на графике точку, в которой две линии пересекаются.
2. Опустим из этой точки перпендикуляр на ось абсцисс (ось $x$). Перпендикуляр указывает на значение $x=2$.
3. Проведем из этой же точки перпендикуляр к оси ординат (оси $y$). Перпендикуляр указывает на значение $y=4$.
Таким образом, координаты точки пересечения — (2; 4).

Способ 2: Алгебраический
Для большей точности и проверки можно найти уравнения для каждой из линейных функций и решить систему этих уравнений. Уравнение линейной функции имеет вид $y = kx + b$.
Уравнение первой прямой (убывающей):
Прямая проходит через точки (0; 8) и (4; 0). Поскольку прямая пересекает ось $y$ в точке (0; 8), то свободный коэффициент $b=8$. Подставим координаты второй точки (4; 0) в уравнение $y = kx + 8$, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$0 = k \cdot 4 + 8$
$4k = -8$
$k = -2$
Следовательно, уравнение первой прямой: $y = -2x + 8$.
Уравнение второй прямой (возрастающей):
Прямая проходит через начало координат (0; 0) и точку (2; 4). Поскольку прямая проходит через начало координат, $b=0$. Подставим координаты точки (2; 4) в уравнение $y = kx$:
$4 = k \cdot 2$
$k = 2$
Следовательно, уравнение второй прямой: $y = 2x$.
Решение системы уравнений:
Теперь найдем точку пересечения, решив систему уравнений: $\begin{cases} y = -2x + 8 \\ y = 2x \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений:
$2x = -2x + 8$
$4x = 8$
$x = 2$
Теперь подставим найденное значение $x=2$ в любое из уравнений, например, во второе:
$y = 2 \cdot 2 = 4$
Алгебраический метод подтверждает, что координаты точки пересечения — (2; 4).

Сравнивая полученный результат (2; 4) с вариантами ответов, видим, что он совпадает с вариантом г).

Ответ: г) (2; 4).