Номер 6, страница 153 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Дан равнобедренный треугольник с основанием, равным 24 см, и боковой стороной, равной 15 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Для нахождения радиуса $r$ окружности, вписанной в треугольник, используется формула $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Вычисление полупериметра (p)
Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. В данном случае стороны равны 15 см, 15 см и 24 см.
$P = 15 + 15 + 24 = 54$ см.
Полупериметр $p$ равен половине периметра:
$p = \frac{P}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

2. Вычисление площади треугольника (S)
Поскольку треугольник равнобедренный, проведем высоту $h$ из вершины к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{24}{2} = 12$ см.
Рассмотрим один из двух получившихся прямоугольных треугольников. Его гипотенуза — это боковая сторона (15 см), один катет — половина основания (12 см), а второй катет — высота $h$.
По теореме Пифагора:
$h^2 + 12^2 = 15^2$
$h^2 + 144 = 225$
$h^2 = 225 - 144$
$h^2 = 81$
$h = \sqrt{81} = 9$ см.
Теперь найдем площадь треугольника по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h$
$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108$ см².

3. Вычисление радиуса вписанной окружности (r)
Теперь, когда известны площадь и полупериметр, мы можем найти радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4$ см.

Ответ: 4 см.