Номер 9, страница 151 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Найдите область определения выражений $\sqrt{\frac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)}}$ и $\sqrt{\frac{x-3}{x}}$. Запишите пересечение полученных множеств.

Для решения задачи необходимо найти область определения (ОДЗ) для каждого из двух выражений, а затем найти пересечение этих областей.

$\sqrt{\frac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)}}$

Область определения для данного выражения определяется двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби — отличным от нуля.

1. Подрадикальное выражение неотрицательно: $\frac{(x+1)(x-3)}{x(x+1)} \ge 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x(x+1) \ne 0$, что означает $x \ne 0$ и $x \ne -1$.

Решая неравенство из пункта 1, мы можем сократить множитель $(x+1)$, так как уже учли ограничение $x \ne -1$. Неравенство упрощается до $\frac{x-3}{x} \ge 0$.

Решим неравенство $\frac{x-3}{x} \ge 0$ методом интервалов. Корни числителя и знаменателя — $x=3$ и $x=0$. Эти точки делят числовую прямую на интервалы. Анализ знаков на этих интервалах показывает, что неравенство выполняется для $x \in (-\infty, 0) \cup [3, \infty)$.

Объединяя это решение с исходным ограничением $x \ne -1$ из пункта 2, получаем окончательную область определения для первого выражения, исключая точку -1 из интервала $(-\infty, 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup [3, \infty)$.

$\sqrt{\frac{x-3}{x}}$

Для второго выражения подкоренное выражение также должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю.

$\frac{x-3}{x} \ge 0$.

Это то же самое неравенство, что и в предыдущем шаге. Его решение, как мы уже выяснили, $x \in (-\infty, 0) \cup [3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [3, \infty)$.

Запишите пересечение полученных множеств.

Нам необходимо найти пересечение двух найденных множеств.

Область определения первого выражения: $D_1 = (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup [3, \infty)$.

Область определения второго выражения: $D_2 = (-\infty, 0) \cup [3, \infty)$.

Пересечение $D_1 \cap D_2$ — это множество всех значений $x$, которые принадлежат обоим множествам одновременно. Сравнивая множества, мы видим, что множество $D_1$ является подмножеством $D_2$, из которого исключена точка $x=-1$. Следовательно, их пересечением будет меньшее из этих множеств, то есть $D_1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup [3, \infty)$.