Номер 8, страница 151 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Решите уравнение

$ \frac{8}{x^2 - 4} = \frac{x+2}{x-2} + \frac{x}{x+2} $

Исходное уравнение: $$ \frac{8}{x^2 - 4} = \frac{x+2}{x-2} + \frac{x}{x+2} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

$x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Преобразуем уравнение. Разложим знаменатель в левой части по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Общий знаменатель для всех дробей — $(x-2)(x+2)$.

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю: $$ \frac{x+2}{x-2} + \frac{x}{x+2} = \frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)^2 + x(x-2)}{(x-2)(x+2)} $$

Теперь уравнение имеет вид: $$ \frac{8}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)^2 + x(x-2)}{(x-2)(x+2)} $$

Поскольку знаменатели равны и не обращаются в ноль в ОДЗ, мы можем приравнять числители: $$ 8 = (x+2)^2 + x(x-2) $$

Раскроем скобки и упростим выражение: $$ 8 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 2x) $$ $$ 8 = 2x^2 + 2x + 4 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ 2x^2 + 2x + 4 - 8 = 0 $$ $$ 2x^2 + 2x - 4 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 2: $$ x^2 + x - 2 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие области допустимых значений ($x \neq \pm 2$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1 \neq 2$ и $1 \neq -2$. Следовательно, это действительный корень уравнения.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x = -2$ знаменатели дробей $\frac{8}{x^2-4}$ и $\frac{x}{x+2}$ обращаются в ноль. Следовательно, $x = -2$ является посторонним корнем и должен быть исключен.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 1.