Номер 10, страница 151 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Две окружности касаются внешним образом в точке $A$.

К ним проведена общая внешняя касательная $BC$, где $C$

и $B$ — точки касания. Найдите площадь треугольника

$ABC$, если $AB = 6$ см, $AC = 8$ см.

Пусть даны две окружности, которые касаются внешним образом в точке A. Прямая BC является их общей внешней касательной, где B и C — точки касания соответственно. Проведем через точку A общую касательную к обеим окружностям. Пусть эта касательная пересекает прямую BC в точке K.

Рассмотрим отрезки касательных, проведенных из точки K к каждой из окружностей. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, их длины равны.

Для первой окружности, к которой проведены касательные KB и KA из точки K, справедливо равенство: $KA = KB$.

Для второй окружности, к которой проведены касательные KC и KA из точки K, справедливо равенство: $KA = KC$.

Из этих двух равенств следует, что $KB = KC = KA$.

В треугольнике ABC отрезок AK является медианой, так как он соединяет вершину A с серединой K противолежащей стороны BC ($KB = KC$). При этом длина медианы AK равна половине длины стороны BC, к которой она проведена ($BC = KB + KC = KA + KA = 2 \cdot KA$).

Согласно свойству прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к одной из сторон, равна половине этой стороны, то угол, противолежащий этой стороне, является прямым. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине A, то есть $\angle BAC = 90^\circ$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В треугольнике ABC катетами являются стороны AB и AC.

По условию задачи, $AB = 6$ см и $AC = 8$ см.

Найдем площадь треугольника ABC по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{48}{2} = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: 24 см$^2$.