Номер 8, страница 153 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Решите уравнение $\frac{2}{x-4} = \frac{x}{x+4} + \frac{16}{x^2-16}$

Данное уравнение является рациональным. Для его решения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), затем приведем все дроби к общему знаменателю и решим полученное уравнение.

Исходное уравнение:

$ \frac{2}{x-4} = \frac{x}{x+4} + \frac{16}{x^2-16} $

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$

$x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$

$x^2-16 \neq 0$. Разложим $x^2-16$ по формуле разности квадратов: $(x-4)(x+4) \neq 0$, что дает те же самые ограничения: $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Таким образом, ОДЗ: $x$ – любое число, кроме $4$ и $-4$.

2. Преобразование уравнения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$ \frac{2}{x-4} - \frac{x}{x+4} - \frac{16}{x^2-16} = 0 $

Общий знаменатель для всех дробей – это $(x-4)(x+4)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2(x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{x(x-4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{16}{(x-4)(x+4)} = 0 $

Объединим дроби:

$ \frac{2(x+4) - x(x-4) - 16}{(x-4)(x+4)} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:

$ 2(x+4) - x(x-4) - 16 = 0 $

3. Решение полученного уравнения

Раскроем скобки:

$ 2x + 8 - x^2 + 4x - 16 = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ -x^2 + 6x - 8 = 0 $

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы сделать коэффициент при $x^2$ положительным:

$ x^2 - 6x + 8 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6+2}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6-2}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

4. Проверка корней

Сравним полученные корни с ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -4$).

Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=4$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, $x_1 = 4$ является посторонним корнем.

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 4$ и $2 \neq -4$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2