Номер 10, страница 153 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Две окружности касаются внешним образом в точке A. К ним проведена общая внешняя касательная $BC$, где $C$ и $B$ — точки касания. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB = 12$ см, $AC = 9$ см.

Пусть даны две окружности, которые касаются внешним образом в точке A. Прямая BC является их общей внешней касательной, где B и C — точки касания на первой и второй окружностях соответственно. По условию, даны длины отрезков $AB = 12$ см и $AC = 9$ см.

Для нахождения площади треугольника ABC определим его тип. Докажем, что угол $\angle BAC$ является прямым.

Проведем через точку A (точку касания окружностей) общую внутреннюю касательную к этим окружностям. Пусть эта касательная пересекает общую внешнюю касательную BC в точке M.

Рассмотрим отрезки касательных, проведенных из точки M к обеим окружностям. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, их длины равны.

• Для первой окружности, которой касаются прямые MB и MA, справедливо равенство: $MA = MB$.
• Для второй окружности, которой касаются прямые MC и MA, справедливо равенство: $MA = MC$.

Из этих двух равенств следует, что $MA = MB = MC$. Это означает, что точка M равноудалена от всех трех вершин треугольника ABC, а значит, M является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Поскольку точка M лежит на отрезке BC и $MB = MC$, M является серединой BC. Таким образом, сторона BC является диаметром описанной около треугольника ABC окружности.

Угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, является прямым. Угол $\angle BAC$ опирается на диаметр BC, следовательно, $\angle BAC = 90^\circ$.

Итак, треугольник ABC является прямоугольным, а стороны AB и AC — его катетами.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$.

Подставим в формулу известные значения длин катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 6 \cdot 9 = 54$ см².

Ответ: 54 см².