Номер 7, страница 154 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. В четырехугольнике $ABCD$ $AD = 5 \text{ см}$, $AB = 8 \text{ см}$, $CD = 3\sqrt{5} \text{ см}$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 90^\circ$. Найдите длину стороны $BC$.

Для нахождения длины стороны $BC$ проведем диагональ $BD$. Это разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

Сначала рассмотрим $\triangle ABD$. Нам известны длины двух сторон $AB = 8$ см, $AD = 5$ см и угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Мы можем найти длину стороны $BD$, используя теорему косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения в формулу:

$BD^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)$

Поскольку значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, то:

$BD^2 = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$

Из этого следует, что длина диагонали $BD$ равна $\sqrt{49} = 7$ см.

Теперь рассмотрим $\triangle BCD$. По условию задачи угол $\angle C = 90^\circ$, следовательно, этот треугольник является прямоугольным. Сторона $BD$ является его гипотенузой, а стороны $BC$ и $CD$ — катетами. Нам известны длина гипотенузы $BD = 7$ см и одного из катетов $CD = 3\sqrt{5}$ см.

Для нахождения длины второго катета $BC$ применим теорему Пифагора:

$BC^2 + CD^2 = BD^2$

Выразим $BC^2$ из уравнения:

$BC^2 = BD^2 - CD^2$

Подставим известные значения:

$BC^2 = 7^2 - (3\sqrt{5})^2 = 49 - (9 \cdot 5) = 49 - 45 = 4$

Следовательно, длина стороны $BC$ равна $\sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.