Номер 10, страница 155 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Диагонали ромба относятся как $3:4$, периметр ромба равен 200 см. Найдите площадь круга, окружность которого вписана в ромб.

Пусть сторона ромба равна a, а его периметр P. По условию, $P = 200$ см. Так как у ромба все стороны равны, то $P = 4a$.
Найдем длину стороны ромба:
$a = P / 4 = 200 / 4 = 50$ см.

Диагонали ромба, $d_1$ и $d_2$, относятся как $3:4$. Пусть $d_1 = 3x$ и $d_2 = 4x$ для некоторого коэффициента x.
Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассматривая прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей (катеты) и стороной ромба (гипотенуза), по теореме Пифагора имеем:
$(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$
$((3x)/2)^2 + ((4x)/2)^2 = 50^2$
$2.25x^2 + 4x^2 = 2500$
$6.25x^2 = 2500$
$x^2 = 2500 / 6.25 = 400$
$x = \sqrt{400} = 20$ см.
Теперь найдем длины диагоналей:
$d_1 = 3 \cdot 20 = 60$ см.
$d_2 = 4 \cdot 20 = 80$ см.

Высота ромба h равна диаметру вписанной в него окружности, а радиус r вписанной окружности равен половине высоты. Площадь ромба S можно найти двумя способами:
1. Через диагонали: $S = (d_1 \cdot d_2) / 2 = (60 \cdot 80) / 2 = 2400$ см².
2. Через сторону и высоту: $S = a \cdot h$.
Приравнивая два выражения для площади, найдем высоту:
$a \cdot h = 2400$
$50 \cdot h = 2400$
$h = 2400 / 50 = 48$ см.

Радиус вписанной окружности r равен половине высоты ромба:
$r = h / 2 = 48 / 2 = 24$ см.

Площадь круга, вписанного в ромб, вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$:
$S_{круга} = \pi \cdot 24^2 = 576\pi$ см².

Ответ: $576\pi$ см².