Номер 7, страница 156 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. В четырехугольнике $ABCD$ $AB = 5$ см, $AD = 8$ см, $CD = 2\sqrt{6}$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 90^\circ$. Найдите длину стороны $BC$.

Для решения задачи проведем диагональ $BD$, которая разделит четырехугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

Сначала рассмотрим треугольник $ABD$. Нам известны длины двух сторон $AB = 5$ см, $AD = 8$ см и угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Мы можем найти длину третьей стороны $BD$, используя теорему косинусов: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$.

Подставим известные значения в формулу: $BD^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$.

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то: $BD^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$.

Отсюда находим длину диагонали: $BD = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По условию задачи угол $\angle C = 90^\circ$, следовательно, треугольник $BCD$ является прямоугольным. В этом треугольнике $BD$ является гипотенузой, а $BC$ и $CD$ — катетами. Мы знаем длину гипотенузы $BD = 7$ см и катета $CD = 2\sqrt{6}$ см. Для нахождения длины второго катета $BC$ воспользуемся теоремой Пифагора: $BC^2 + CD^2 = BD^2$.

Выразим из этой формулы искомую сторону $BC$: $BC^2 = BD^2 - CD^2$.

Подставим известные значения: $BC^2 = 7^2 - (2\sqrt{6})^2 = 49 - (4 \cdot 6) = 49 - 24 = 25$.

Следовательно, длина стороны $BC$ равна: $BC = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.