Номер 10, страница 157 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Одна из диагоналей ромба в $1\frac{1}{3}$ раза больше другой, периметр ромба равен 100 см. Найдите площадь круга, окружность которого вписана в ромб.

Поскольку периметр ромба равен 100 см, а все его четыре стороны равны, то длина одной стороны $a$ составляет: $a = \frac{100}{4} = 25$ см.

Пусть меньшая диагональ ромба равна $d_2$, а большая $d_1$. По условию, $d_1$ в $1\frac{1}{3}$ раза больше $d_2$, что можно записать как $d_1 = \frac{4}{3}d_2$.

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Вместе со стороной ромба они образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна стороне ромба $a$, а катеты — половинам диагоналей, $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. По теореме Пифагора: $(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$, или $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$.

Подставим в это равенство известные нам значения и соотношения: $(\frac{4}{3}d_2)^2 + d_2^2 = 4 \cdot (25)^2$ $\frac{16}{9}d_2^2 + d_2^2 = 4 \cdot 625$ $(\frac{16}{9} + 1)d_2^2 = 2500$ $\frac{25}{9}d_2^2 = 2500$ $d_2^2 = 2500 \cdot \frac{9}{25} = 900$ $d_2 = \sqrt{900} = 30$ см.

Теперь найдем длину второй диагонали: $d_1 = \frac{4}{3} \cdot 30 = 40$ см.

Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной в него окружности. Площадь ромба можно выразить двумя способами: через диагонали $S = \frac{1}{2}d_1d_2$ и через сторону и высоту $S = a \cdot h$. Приравняем эти выражения, чтобы найти высоту: $\frac{1}{2}d_1d_2 = a \cdot h$ $\frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 25 \cdot h$ $600 = 25h$ $h = \frac{600}{25} = 24$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты: $r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Площадь вписанного круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$: $S_{круга} = \pi \cdot 12^2 = 144\pi$ см².

Ответ: $144\pi$ см².