Номер 3, страница 156 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) угол правильного шестиугольника равен 120°;

б) $ \text{tg } 45^\circ = \text{ctg } 45^\circ $;

в) центр окружности, вписанной в угол, равноудален от сторон угла;

г) в равностороннем треугольнике есть только два равных угла?

Проанализируем каждое утверждение, чтобы найти неверное.

а) угол правильного шестиугольника равен 120°;

Формула для вычисления величины внутреннего угла правильного n-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для правильного шестиугольника количество сторон $n = 6$. Подставим это значение в формулу:

$\alpha = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.

Следовательно, данное утверждение является верным.

б) tg 45° = ctg 45°;

Значения тангенса и котангенса для угла 45° являются табличными. Известно, что $tg\;45^\circ = 1$ и $ctg\;45^\circ = 1$.

Поскольку $1 = 1$, равенство $tg\;45^\circ = ctg\;45^\circ$ является верным. Также можно использовать тождество $ctg\; \alpha = tg\;(90^\circ - \alpha)$. При $\alpha = 45^\circ$ получаем $ctg\;45^\circ = tg\;(90^\circ - 45^\circ) = tg\;45^\circ$.

Следовательно, данное утверждение является верным.

в) центр окружности, вписанной в угол, равноудален от сторон угла;

По определению, окружность, вписанная в угол, касается обеих его сторон. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. Расстояние от центра окружности до любой касательной к ней равно радиусу этой окружности. Так как окружность касается обеих сторон угла, то расстояния от ее центра до этих сторон равны между собой и равны радиусу.

Следовательно, данное утверждение является верным.

г) в равностороннем треугольнике есть только два равных угла?

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Согласно свойству треугольников, против равных сторон лежат равные углы. Поскольку в равностороннем треугольнике все три стороны равны, то и все три угла также равны между собой.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Таким образом, каждый угол в равностороннем треугольнике равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.

В равностороннем треугольнике есть три равных угла, а не "только два". Утверждение, что в нем есть *только* два равных угла, является ложным. (Треугольник, в котором есть только два равных угла, называется равнобедренным, но не равносторонним).

Следовательно, данное утверждение является неверным.

Мы проанализировали все четыре утверждения и установили, что утверждения а), б) и в) верны, а утверждение г) — неверно. Вопрос требует указать неверное утверждение.

Ответ: г)