Номер 6, страница 156 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Четвертый член геометрической прогрессии равен 4, а знаменатель равен 2. Найдите сумму четырех первых членов этой прогрессии.

Пусть $b_n$ — это геометрическая прогрессия. По условию задачи, четвертый член прогрессии $b_4 = 4$, а знаменатель прогрессии $q = 2$. Требуется найти сумму четырех первых членов этой прогрессии, $S_4$.

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Использование формул

Сначала найдем первый член прогрессии, $b_1$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Применим эту формулу для четвертого члена ($n=4$), подставив известные значения $b_4 = 4$ и $q = 2$: $4 = b_1 \cdot 2^{4-1}$ $4 = b_1 \cdot 2^3$ $4 = b_1 \cdot 8$

Отсюда выражаем и находим $b_1$: $b_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$

Теперь, зная первый член $b_1 = 0.5$ и знаменатель $q = 2$, мы можем найти сумму первых четырех членов $S_4$ по формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$

Подставим наши значения для $n=4$: $S_4 = \frac{0.5(2^4 - 1)}{2-1}$ $S_4 = \frac{0.5(16 - 1)}{1}$ $S_4 = 0.5 \cdot 15$ $S_4 = 7.5$

Способ 2: Последовательное нахождение членов

Зная четвертый член $b_4 = 4$ и знаменатель $q = 2$, можно найти предыдущие члены, деля каждый последующий член на знаменатель:

• $b_3 = \frac{b_4}{q} = \frac{4}{2} = 2$
• $b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{2}{2} = 1$
• $b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{1}{2} = 0.5$

Теперь, зная все четыре члена прогрессии (0.5, 1, 2, 4), найдем их сумму простым сложением: $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 0.5 + 1 + 2 + 4 = 7.5$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 7.5