Номер 6, страница 154 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Третий член геометрической прогрессии равен 2, а знаменатель прогрессии равен 3. Найдите сумму трех первых членов этой прогрессии.

6.

Пусть $b_n$ — n-ый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи нам дано, что третий член $b_3 = 2$ и знаменатель $q = 3$. Необходимо найти сумму первых трех членов прогрессии, то есть $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$.

Для нахождения суммы нам нужно сначала определить первый член прогрессии, $b_1$. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим в эту формулу известные нам значения для третьего члена ($n=3$):
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1}$
$2 = b_1 \cdot 3^2$
$2 = b_1 \cdot 9$
Отсюда выражаем $b_1$:
$b_1 = \frac{2}{9}$

Теперь мы можем найти все три члена прогрессии:
Первый член: $b_1 = \frac{2}{9}$
Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2}{3}$
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ (что соответствует условию задачи).

Наконец, вычислим сумму первых трех членов:
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{2}{9} + \frac{2}{3} + 2$
Чтобы сложить эти числа, приведем их к общему знаменателю, равному 9:
$S_3 = \frac{2}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 9}{9} = \frac{2}{9} + \frac{6}{9} + \frac{18}{9}$
$S_3 = \frac{2 + 6 + 18}{9} = \frac{26}{9}$

Ответ: $\frac{26}{9}$.