Номер 9, страница 153 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Найдите область определения выражений $\sqrt{\frac{(x+1)(x-3)}{x(x-3)}}$ и $\sqrt{\frac{x+1}{x}}$. Запишите пересечение полученных множеств.

Найдем область определения выражения $\sqrt{\frac{(x+1)(x-3)}{x(x-3)}}$

Область определения выражения (ОДЗ) находится из двух условий:
1. Подынтегральное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{(x+1)(x-3)}{x(x-3)} \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x(x-3) \ne 0$.

Из второго условия следует, что $x \ne 0$ и $x \ne 3$.

Теперь рассмотрим первое условие. Так как мы уже установили, что $x \ne 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$. Неравенство принимает вид:
$\frac{x+1}{x} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -1$. Нуль знаменателя: $x = 0$.

Нанесем эти точки на числовую ось. Точка $x=-1$ входит в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ не входит (знаменатель).
Интервалы: $(-\infty, -1]$, $[-1, 0)$, $(0, +\infty)$.
При $x > 0$ (например, $x=1$), дробь $\frac{1+1}{1} > 0$.
При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$), дробь $\frac{-0.5+1}{-0.5} < 0$.
При $x \le -1$ (например, $x=-2$), дробь $\frac{-2+1}{-2} > 0$.

Таким образом, решение неравенства $\frac{x+1}{x} \ge 0$ — это $x \in (-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$.

Объединим это решение с начальными ограничениями ОДЗ ($x \ne 0$ и $x \ne 3$). Точка $x=0$ уже исключена. Точку $x=3$ необходимо исключить из интервала $(0, +\infty)$.
Получаем область определения первого выражения: $x \in (-\infty, -1] \cup (0, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup (0, 3) \cup (3, +\infty)$

Найдем область определения выражения $\sqrt{\frac{x+1}{x}}$

Область определения этого выражения также требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$\frac{x+1}{x} \ge 0$.

Это неравенство было решено в предыдущем пункте. Его решение: $x \in (-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$

Запишите пересечение полученных множеств

Необходимо найти пересечение двух множеств:
Множество 1: $D_1 = (-\infty, -1] \cup (0, 3) \cup (3, +\infty)$
Множество 2: $D_2 = (-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$

Пересечение $D_1 \cap D_2$ содержит элементы, принадлежащие обоим множествам.
Интервал $(-\infty, -1]$ присутствует в обоих множествах.
Множество $(0, 3) \cup (3, +\infty)$ является частью множества $(0, +\infty)$. Их пересечение равно меньшему из них, то есть $(0, 3) \cup (3, +\infty)$.

Следовательно, пересечение двух областей определения равно первому множеству.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup (0, 3) \cup (3, +\infty)$