Номер 3, страница 154 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности;

б) $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ$;

в) центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла;

г) в прямоугольном треугольнике есть только один острый угол?

а) сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности;

Это утверждение верно. Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников, соединив его вершины с центром описанной окружности. Стороны этих треугольников равны радиусу описанной окружности $R$ и стороне шестиугольника $a$. Так как треугольники равносторонние, то их стороны равны между собой, следовательно, $a = R$.
Также можно использовать формулу для стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность: $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$. Для шестиугольника $n=6$, поэтому $a_6 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 2R \sin(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Ответ: утверждение верное.

б) sin 45° = cos 45°;

Это утверждение верно. Значения синуса и косинуса для угла $45^\circ$ равны: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Также это следует из формулы приведения $\sin(\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha)$. При $\alpha = 45^\circ$ получаем $\sin(45^\circ) = \cos(90^\circ - 45^\circ) = \cos(45^\circ)$.
Ответ: утверждение верное.

в) центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла;

Это утверждение верно. Центр окружности, вписанной в угол, по определению равноудален от сторон этого угла. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектриса. Следовательно, центр такой окружности лежит на биссектрисе угла.
Ответ: утверждение верное.

г) в прямоугольном треугольнике есть только один острый угол?

Это утверждение неверно. В прямоугольном треугольнике один угол прямой, то есть равен $90^\circ$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Таким образом, на два других угла приходится $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как каждый из этих двух углов больше $0^\circ$, то каждый из них будет меньше $90^\circ$. Угол, который меньше $90^\circ$, называется острым. Следовательно, в прямоугольном треугольнике всегда есть один прямой угол и два острых угла.
Ответ: утверждение неверное.