Номер 8, страница 143 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Упростите выражение $(2x^2 + 1)(4x^4 + 1)(16x^8 + 1)\frac{2x^2 - 1}{256x^{16} - 1}$

Для упрощения выражения $(2x^2 + 1)(4x^4 + 1)(16x^8 + 1)\frac{2x^2 - 1}{256x^{16} - 1}$ перегруппируем множители, чтобы последовательно применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Запишем выражение, перенеся множитель $(2x^2 - 1)$ из числителя дроби в начало: $(2x^2 - 1)(2x^2 + 1)(4x^4 + 1)(16x^8 + 1)\frac{1}{256x^{16} - 1}$.

Теперь последовательно перемножим скобки, используя формулу разности квадратов.

1. Умножим первые две скобки: $(2x^2 - 1)(2x^2 + 1) = (2x^2)^2 - 1^2 = 4x^4 - 1$.

Выражение примет вид: $(4x^4 - 1)(4x^4 + 1)(16x^8 + 1)\frac{1}{256x^{16} - 1}$.

2. Снова применим формулу к первым двум скобкам: $(4x^4 - 1)(4x^4 + 1) = (4x^4)^2 - 1^2 = 16x^8 - 1$.

Выражение станет: $(16x^8 - 1)(16x^8 + 1)\frac{1}{256x^{16} - 1}$.

3. И еще раз применим ту же формулу: $(16x^8 - 1)(16x^8 + 1) = (16x^8)^2 - 1^2 = 256x^{16} - 1$.

Подставив результат в выражение, получим: $(256x^{16} - 1) \cdot \frac{1}{256x^{16} - 1} = \frac{256x^{16} - 1}{256x^{16} - 1}$.

При условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $256x^{16} - 1 \neq 0$, данное выражение равно 1.

Ответ: $1$