Номер 7, страница 143 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Решите уравнение

$(x - 4)^2 - (x + 6)^2 = 30.$

Для решения данного уравнения можно использовать два основных подхода.

Способ 1: Применение формулы разности квадратов

Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, которая раскладывается по формуле $(a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = (x-4)$ и $b = (x+6)$. Подставим их в формулу:

$(x - 4)^2 - (x + 6)^2 = 30$

$((x - 4) - (x + 6)) \cdot ((x - 4) + (x + 6)) = 30$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок.

В первой скобке: $x - 4 - x - 6 = -10$.

Во второй скобке: $x - 4 + x + 6 = 2x + 2$.

Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$(-10) \cdot (2x + 2) = 30$

Разделим обе части уравнения на -10:

$2x + 2 = \frac{30}{-10}$

$2x + 2 = -3$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = -3 - 2$

$2x = -5$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{-5}{2}$

$x = -2.5$

Способ 2: Раскрытие скобок по формулам сокращенного умножения

Можно раскрыть каждую скобку, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$

$(x + 6)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36$

Подставим раскрытые скобки в исходное уравнение:

$(x^2 - 8x + 16) - (x^2 + 12x + 36) = 30$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные, так как перед ними стоит минус:

$x^2 - 8x + 16 - x^2 - 12x - 36 = 30$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^2 - x^2) + (-8x - 12x) + (16 - 36) = 30$

$0 - 20x - 20 = 30$

$-20x - 20 = 30$

Перенесем -20 в правую часть с противоположным знаком:

$-20x = 30 + 20$

$-20x = 50$

Найдем $x$, разделив обе части на -20:

$x = \frac{50}{-20} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $-2.5$