Номер 10, страница 141 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В треугольник $ABC$ вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне $AC$, две другие — на сторонах $AB$ и $BC$. Найдите площадь квадрата, если $AC = 60$ см, высота треугольника $BH = 30$ см.

Пусть в треугольнике $ABC$ основание $AC = 60$ см, а высота, проведенная к этому основанию, $BH = 30$ см (точка $H$ лежит на $AC$).

Обозначим вписанный квадрат как $KLMN$, где вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AC$, вершина $N$ — на стороне $AB$, а вершина $M$ — на стороне $BC$. Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда $KL = LM = MN = NK = x$. Нам нужно найти площадь квадрата $S = x^2$.

Поскольку вершины $K$ и $L$ квадрата лежат на стороне $AC$, а $KLMN$ является квадратом, его стороны $NK$ и $ML$ перпендикулярны основанию $AC$. Так как $NK$ и $ML$ также перпендикулярны стороне $MN$, то сторона квадрата $MN$ параллельна основанию $AC$ ($MN || AC$).

Рассмотрим треугольник $BNM$. Так как $MN || AC$, то треугольник $BNM$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам ($\angle B$ — общий; $\angle BNM = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих высот равно отношению их оснований.

Основанием треугольника $BAC$ является сторона $AC = 60$ см, а его высота — $BH = 30$ см.

Основанием подобного ему треугольника $BNM$ является сторона квадрата $MN = x$.

Проведем высоту треугольника $BNM$ из вершины $B$ к его основанию $MN$. Пусть она пересекает $MN$ в точке $P$. Высота $BP$ лежит на высоте $BH$. Длина отрезка $PH$ равна расстоянию между параллельными прямыми $MN$ и $AC$, что соответствует высоте квадрата, то есть его стороне $x$. Таким образом, высота малого треугольника $BP$ равна: $BP = BH - PH = 30 - x$.

Составим пропорцию из отношения высот и оснований подобных треугольников: $\frac{BP}{BH} = \frac{MN}{AC}$

Подставим известные значения и выражения: $\frac{30 - x}{30} = \frac{x}{60}$

Для решения уравнения относительно $x$ воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $60 \cdot (30 - x) = 30 \cdot x$ $1800 - 60x = 30x$ $1800 = 90x$ $x = \frac{1800}{90}$ $x = 20$

Итак, сторона квадрата равна $20$ см.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = x^2$: $S = 20^2 = 400 \text{ см}^2$.

Ответ: $400 \text{ см}^2$.