Номер 7, страница 140 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. В параллелограмм с диагоналями, равными 10 см и 24 см, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Поскольку в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм является ромбом. Свойство ромба заключается в том, что все его стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть диагонали ромба равны $d_1 = 10$ см и $d_2 = 24$ см.

Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника, катетами которых являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба $a$.

Найдем сторону ромба $a$ по теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
$a = \sqrt{(\frac{10}{2})^2 + (\frac{24}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности, следовательно, радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты: $r = \frac{h}{2}$.

Площадь ромба $S$ можно вычислить двумя способами:
1. Через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
2. Через сторону и высоту: $S = a \cdot h$

Приравняем оба выражения для площади, чтобы найти высоту $h$:
$a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 d_2$
$13 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24$
$13 \cdot h = 120$
$h = \frac{120}{13}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{h}{2} = \frac{120/13}{2} = \frac{120}{13 \cdot 2} = \frac{60}{13}$ см.

Ответ: $\frac{60}{13}$ см.