Номер 10, страница 139 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В треугольник $ABC$ вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне $AC$, две другие — на сторонах $AB$ и $BC$. Найдите площадь квадрата, если $AC = 30$ см, высота треугольника $BH = 20$ см.

Пусть сторона вписанного квадрата равна $x$ см. Обозначим вершины квадрата как $DEFG$, где вершины $D$ и $G$ лежат на стороне $AC$, вершина $E$ — на стороне $AB$, а вершина $F$ — на стороне $BC$.

Так как $DEFG$ — квадрат, его сторона $EF$ параллельна стороне $AC$, на которой лежат две другие вершины.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EBF$. Поскольку $EF \parallel AC$, то треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABC$ (угол при вершине $B$ — общий, а углы при основании $EF$ равны соответствующим углам при основании $AC$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их высот равно отношению их оснований. Высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$, — это $BH = 20$ см. Основание $AC = 30$ см.

Проведем высоту треугольника $EBF$ из вершины $B$ к стороне $EF$. Пусть она пересекает $EF$ в точке $M$. Тогда эта высота $BM$ является частью высоты $BH$. Отрезок $MH$ — это расстояние между параллельными прямыми $EF$ и $AC$, которое равно высоте (и стороне) квадрата, то есть $MH = x$.

Таким образом, высота $BM$ треугольника $EBF$ равна $BH - MH = 20 - x$.

Основание $EF$ треугольника $EBF$ является стороной квадрата, то есть $EF = x$.

Теперь мы можем составить пропорцию из подобия треугольников: $$ \frac{\text{высота } \triangle EBF}{\text{высота } \triangle ABC} = \frac{\text{основание } EF}{\text{основание } AC} $$ $$ \frac{BM}{BH} = \frac{EF}{AC} $$

Подставим известные значения: $$ \frac{20 - x}{20} = \frac{x}{30} $$

Решим полученное уравнение: $$ 30 \cdot (20 - x) = 20 \cdot x $$ $$ 600 - 30x = 20x $$ $$ 600 = 20x + 30x $$ $$ 600 = 50x $$ $$ x = \frac{600}{50} = 12 $$

Сторона квадрата равна 12 см.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = x^2$. $$ S = 12^2 = 144 \text{ см}^2 $$

Ответ: 144 см$^2$.