Номер 9, страница 139 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Первую половину пути в 20 км пешеход преодолел со скоростью на 10 % меньше планируемой, а вторую половину пути — со скоростью на 10 % больше, чем планировал. Как изменится время его движения по сравнению с планируемым?

Для решения задачи введем следующие обозначения. Пусть $S$ — это весь путь, равный 20 км, а $v$ — планируемая скорость пешехода. Половина пути составляет $S/2 = 10$ км.

1. Найдем планируемое время движения.

Планируемое время $t_{план}$ для преодоления всего пути $S$ со скоростью $v$ определяется формулой:

$t_{план} = \frac{S}{v} = \frac{20}{v}$

2. Найдем фактическое время движения.

Первую половину пути ($S/2 = 10$ км) пешеход шел со скоростью $v_1$, которая на 10% меньше планируемой:

$v_1 = v - 0.1v = 0.9v$

Время, затраченное на первую половину пути, равно:

$t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{10}{0.9v}$

Вторую половину пути ($S/2 = 10$ км) пешеход шел со скоростью $v_2$, которая на 10% больше планируемой:

$v_2 = v + 0.1v = 1.1v$

Время, затраченное на вторую половину пути, равно:

$t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{10}{1.1v}$

Общее фактическое время движения $t_{факт}$ равно сумме времен на каждом участке:

$t_{факт} = t_1 + t_2 = \frac{10}{0.9v} + \frac{10}{1.1v}$

Вынесем общий множитель $\frac{10}{v}$ за скобки:

$t_{факт} = \frac{10}{v} \left( \frac{1}{0.9} + \frac{1}{1.1} \right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$t_{факт} = \frac{10}{v} \left( \frac{1.1 + 0.9}{0.9 \times 1.1} \right) = \frac{10}{v} \left( \frac{2}{0.99} \right) = \frac{20}{0.99v}$

3. Сравним фактическое время с планируемым.

Мы получили, что $t_{план} = \frac{20}{v}$ и $t_{факт} = \frac{20}{0.99v}$.

Найдем отношение фактического времени к планируемому:

$\frac{t_{факт}}{t_{план}} = \frac{20/(0.99v)}{20/v} = \frac{20}{0.99v} \times \frac{v}{20} = \frac{1}{0.99} = \frac{100}{99}$

Так как $\frac{100}{99} > 1$, фактическое время движения больше планируемого. Чтобы найти, на сколько процентов время увеличилось, выполним расчет:

$\left( \frac{t_{факт}}{t_{план}} - 1 \right) \times 100\% = \left( \frac{100}{99} - 1 \right) \times 100\% = \left( \frac{100-99}{99} \right) \times 100\% = \frac{1}{99} \times 100\% = \frac{100}{99}\% \approx 1.01\%$

Таким образом, общее время движения увеличилось. Стоит заметить, что итоговый результат не зависит от общей длины пути (20 км).

Ответ: Время движения увеличится примерно на 1.01% (или на $\frac{100}{99}\%$).