Номер 7, страница 138 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. В параллелограмм с диагоналями, равными 6 см и 8 см, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

По свойству описанного четырехугольника, суммы его противолежащих сторон должны быть равны. Для параллелограмма, у которого противолежащие стороны равны $a$ и $b$, это условие выглядит как $a + a = b + b$, что означает $2a = 2b$, и, следовательно, $a = b$. Таким образом, параллелограмм, в который можно вписать окружность, является ромбом.

Итак, мы имеем ромб с диагоналями $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей:
$k_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см
$k_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см

Гипотенузой этих треугольников является сторона ромба $a$. Найдем ее по теореме Пифагора:
$a = \sqrt{k_1^2 + k_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Радиус вписанной в ромб окружности $r$ равен высоте $h_{\triangle}$ одного из этих прямоугольных треугольников, проведенной к гипотенузе.

Площадь такого треугольника можно найти двумя способами:
1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot k_1 \cdot k_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$.
2. Через гипотенузу и высоту к ней (которая и есть искомый радиус $r$): $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot r$.

Приравняем оба выражения для площади:
$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot r = 6$
$5r = 12$
$r = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Ответ: 2,4 см.