Номер 3, страница 142 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) медианы треугольника пересекаются в одной точке;

б) радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$;

в) в треугольнике против большей стороны лежит больший угол;

г) в любой параллелограмм можно вписать окружность?

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, проанализируем каждое из них.

а) медианы треугольника пересекаются в одной точке;
Это утверждение является фундаментальной теоремой геометрии. Три медианы любого треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром масс треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, это утверждение истинно.
Ответ: утверждение верное.

б) радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$;
Это стандартная формула для вычисления радиуса ($r$) окружности, вписанной в треугольник. В этой формуле $S$ обозначает площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр (то есть половина суммы длин всех сторон: $p = \frac{a+b+c}{2}$). Формула является следствием того, что площадь треугольника можно представить как сумму площадей трех треугольников, образованных сторонами исходного треугольника и отрезками, соединяющими вершины с центром вписанной окружности. Площадь каждого такого треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot r$, а общая площадь $S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \cdot \frac{a+b+c}{2} = r \cdot p$. Отсюда $r = \frac{S}{p}$. Следовательно, это утверждение истинно.
Ответ: утверждение верное.

в) в треугольнике против большей стороны лежит больший угол;
Это свойство соотношения между сторонами и углами в треугольнике, известное как теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Она утверждает, что если одна сторона треугольника больше другой, то и угол, лежащий против этой стороны, больше угла, лежащего против другой стороны. Это можно доказать, например, с помощью теоремы синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Если $a > b$, то из этого равенства следует, что $\sin A > \sin B$. Так как углы треугольника находятся в интервале от 0 до 180 градусов (от $0$ до $\pi$ радиан), на этом интервале функция синуса такова, что большему значению синуса соответствует больший угол. Таким образом, из $\sin A > \sin B$ следует $A > B$. Следовательно, это утверждение истинно.
Ответ: утверждение верное.

г) в любой параллелограмм можно вписать окружность?
Это утверждение неверно. Согласно свойству описанного четырехугольника, в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Для параллелограмма с соседними сторонами $a$ и $b$ противолежащие стороны также равны $a$ и $b$. Условие возможности вписать окружность будет выглядеть так: $a + a = b + b$, что упрощается до $2a = 2b$, и, соответственно, $a = b$. Параллелограмм, у которого все стороны равны, — это ромб. Таким образом, окружность можно вписать только в те параллелограммы, которые являются ромбами. В общий случай параллелограмма (например, в прямоугольник, не являющийся квадратом) окружность вписать нельзя. Следовательно, это утверждение ложно.
Ответ: утверждение неверное.

Таким образом, единственным неверным утверждением из предложенных является утверждение г).

Ответ: г)