Номер 86, страница 26 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Дано

$t_1 = 40$ мин

$t_2 = 1,2$ ч

Перевод в систему СИ:

$t_1 = 40 \cdot 60 = 2400$ с

$t_2 = 1,2 \cdot 3600 = 4320$ с

Найти:

$t_3$ - ?

Решение

Введем обозначения: $\text{S}$ – расстояние между пристанями, $v_л$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде, т.е. в озере), $v_т$ – скорость течения реки.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость относительно берега равна сумме собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_л + v_т$

Когда лодка плывет против течения, ее скорость относительно берега равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{против} = v_л - v_т$

Пройденный путь $\text{S}$ в обоих случаях одинаков. Запишем уравнения движения:

1. Движение по течению: $S = (v_л + v_т) \cdot t_1$

2. Движение против течения: $S = (v_л - v_т) \cdot t_2$

Время, за которое лодка пройдет тот же путь $\text{S}$ по озеру, где течение отсутствует, определяется ее собственной скоростью:

3. Движение по озеру: $S = v_л \cdot t_3$

Из первых двух уравнений выразим скорости:

$v_л + v_т = \frac{S}{t_1}$

$v_л - v_т = \frac{S}{t_2}$

Это система из двух линейных уравнений. Чтобы найти собственную скорость лодки $v_л$, сложим эти два уравнения:

$(v_л + v_т) + (v_л - v_т) = \frac{S}{t_1} + \frac{S}{t_2}$

$2v_л = S(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2})$

$2v_л = S\frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2}$

Отсюда собственная скорость лодки:

$v_л = S\frac{t_1 + t_2}{2t_1 t_2}$

Из третьего уравнения, время движения по озеру $t_3 = \frac{S}{v_л}$. Подставим в него найденное выражение для $v_л$:

$t_3 = \frac{S}{S\frac{t_1 + t_2}{2t_1 t_2}} = \frac{2t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

Теперь подставим числовые значения. Для удобства вычислений можно не переводить в СИ, а привести все к одной единице, например, к часам.

$t_1 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$

$t_2 = 1,2 \text{ ч} = \frac{12}{10} \text{ ч} = \frac{6}{5} \text{ ч}$

$t_3 = \frac{2 \cdot \frac{2}{3} \text{ ч} \cdot \frac{6}{5} \text{ ч}}{\frac{2}{3} \text{ ч} + \frac{6}{5} \text{ ч}} = \frac{\frac{24}{15} \text{ ч}^2}{\frac{10+18}{15} \text{ ч}} = \frac{\frac{8}{5} \text{ ч}^2}{\frac{28}{15} \text{ ч}} = \frac{8}{5} \cdot \frac{15}{28} \text{ ч} = \frac{8 \cdot 3}{28} \text{ ч} = \frac{24}{28} \text{ ч} = \frac{6}{7} \text{ ч}$

Переведем результат в минуты для наглядности:

$t_3 = \frac{6}{7} \text{ ч} \cdot 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = \frac{360}{7} \text{ мин} \approx 51,4 \text{ мин}$

Ответ: $\frac{360}{7}$ мин, или примерно 51,4 мин.